TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 513

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Untersuchen Sie, ob die angegebene Abbildung A von \mathbb{R}^3 in \mathbb{R}^2 eine lineare Abbildung ist:

A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}3x_1+5x_2-x_3\\-3x_2\end{pmatrix}

Hilfreiches[Bearbeiten]

Lineare Abbildung
Lineare Abbildung[Bearbeiten]

Definition:

Seien <V, \oplus, K> und <W, \boxplus, K> Vektorräume über dem Körper K.

f: V\rightarrow W heißt lineare Abbildung (Homomorphismus), wenn

  1. \forall \overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}\in V:\quad f(\overrightarrow{x}\oplus\overrightarrow{y})=f(\overrightarrow{x})\boxplus f(\overrightarrow{y})
  2. \forall \lambda\in K:\quad f(\lambda\overrightarrow{x})=\lambda f(\overrightarrow{x})

Jede lineare Abbildung kann auch durch eine Matrix M festgelegt werden, für die gilt:

\forall\overrightarrow{x}\in V:\quad f(\overrightarrow{x})=M\overrightarrow{x}

Lösung von Baccus[Bearbeiten]

(Zusammenfassung aus der Diskussion im UE-Forum)

Zu zeigen ist:

  • Additivität:

A\begin{pmatrix}3(x_1+y_1)+5(x_2+y_2)-(x_3+y_3)\\-3(x_2+y_2)\end{pmatrix}=

A\begin{pmatrix}3x_1+5x_2-x_3+3y_1+5y_2-y_3\\-3x_2-3y_2\end{pmatrix}=

A\begin{pmatrix}3x_1+5x_2-x_3\\-3x_2\end{pmatrix}+A\begin{pmatrix}3y_1+5y_2-y_3\\-3y_2\end{pmatrix}

  • Homogenität:

A\begin{pmatrix}\lambda3x_1+\lambda5x_2-\lambda x_3\\-\lambda3x_2\end{pmatrix}= A\begin{pmatrix}\lambda(3x_1+5x_2-x_3)\\\lambda(-3x_2)\end{pmatrix}= \lambda A\begin{pmatrix}3x_1+5x_2-x_3\\-3x_2\end{pmatrix}

(Danke Infamous, camus, navyseal!)

Baccus 02:21, 18. Jan 2007 (CET)

Links[Bearbeiten]

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