TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 530

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Lösungsvorschlag von Königd[Bearbeiten]

--Königd 13:43, 18. Jun. 2019 (CEST)

Wenn man sich die Angabe 527), auf der dieses Beispiel basiert, genauer anschaut, fällt einem auf, dass die Abbildung


D(\sum ^n _{k=0} a_kx^{k}) = \sum ^n _{k=1} ka_kx^{k-1}

eigentlich die eine Ableitung eines Polynoms darstellt.

Lineare Abbildung[Bearbeiten]

Damit eine Abbildung als lineare bezeichnet werden darf, müssen folgende Eigenschaften gelten:

a)  D(a+b) = D(a) + D(b)

b)  D(\lambda a) = \lambda D(a)


Punkt a) ist recht einfach zu zeigen, denn man kann es durchrechnen oder argumentieren:


D(\sum ^n _{k=0} a_kx^{k} + \sum ^n _{k=0} b_kx^{k}) = \sum ^n _{k=1} ka_kx^{k-1}


D(\sum ^n _{k=0} a_kx^{k} + \sum ^n _{k=0} b_kx^{k}) = \sum ^n _{k=1} ka_kx^{k-1} + \sum ^n _{k=1} kb_kx^{k-1}


D(\sum ^n _{k=0} a_kx^{k} + \sum ^n _{k=0} b_kx^{k}) = \sum ^n _{k=1} ka_kx^{k-1} + kb_kx^{k-1}


D(\sum ^n _{k=0} a_kx^{k} +  b_kx^{k}) = \sum ^n _{k=1} ka_kx^{k-1} + kb_kx^{k-1}

Punkt b) kann man auf genau die selbe art und weiße nachrechnen, jedoch kann man hier argumentieren, dass ein Skalar aus einer Summe herausgehoben werden kann und somit ersparrt man sich das ganze nachrechnen.

Injektivität[Bearbeiten]

Hier kann man argumentieren, dass zwei verschiedene Polynome (z.B. auch gleichen Grades) nie die selbe Ableitung haben. Man könnte es aber auch sturr durchrechnen, indem man zeigt:


 D(a) = D(b) \Rightarrow  a = b

Surjektivität[Bearbeiten]

Dies ist schon ein bisschen Anspruchsvoller, da man zeigen soll, dass mindestens jedes Element der Zielmenge einmal getroffen wird. Sprich es gibt eine Abbildung  D(a)_{-1} .

Hier bin ich zu dem Schluss gekommen, dass es sich hier nicht um surjektivität handelt, denn wenn man von einem Polynom eine ABleitung bildet und darauf hin wieder die Umkehrfunktion (Unbestimmtesintegral) bildet, dann bekommt man nicht genau das selbe Anfangspolynom zurück sondern eines welches um die Konstante C verschoben werden kann.

Ich bin mir bei der Surjektivität nicht ganz sicher, jedoch klingt diese Argumentation für mich plausible.

Matrix der Linearen Abbildung[Bearbeiten]

Schluss endlich muss man die Matrix A angeben, welche die Abbildung D beschreibt.

Hierfürh haben wir die Basis  B = \{x^0,x^1,x^2,...,x^n\} gegeben.

Für die Matrix A muss jedoch gelten:

 A * B = (0,1,2x,3x^2,4x^3,..., nx^{n-1})

Daraus folgt gleich, dass die Matrix A als Spaltenmatrix so aussehen muss

 A = (0,x^{-1},2x^{-1},3x^{-1},...,nx^{-1})