TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 538

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Lösungsvorschlag von Königd

--Königd 13:43, 18. Jun. 2019 (CEST)

Wenn man sich die Angabe 527), auf der dieses Beispiel basiert, genauer anschaut, fällt einem auf, dass die Abbildung

$D(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k})=\sum _{k=1}^{n}ka_{k}x^{k-1}$

eigentlich die eine Ableitung eines Polynoms darstellt.

Lineare Abbildung

Damit eine Abbildung als lineare bezeichnet werden darf, müssen folgende Eigenschaften gelten:

a) $D(a+b)=D(a)+D(b)$

b) $D(\lambda a)=\lambda D(a)$

Punkt a) ist recht einfach zu zeigen, denn man kann es durchrechnen oder argumentieren:

$D(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}+\sum _{k=0}^{n}b_{k}x^{k})=\sum _{k=1}^{n}ka_{k}x^{k-1}$

$D(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}+\sum _{k=0}^{n}b_{k}x^{k})=\sum _{k=1}^{n}ka_{k}x^{k-1}+\sum _{k=1}^{n}kb_{k}x^{k-1}$

$D(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}+\sum _{k=0}^{n}b_{k}x^{k})=\sum _{k=1}^{n}ka_{k}x^{k-1}+kb_{k}x^{k-1}$

$D(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}+b_{k}x^{k})=\sum _{k=1}^{n}ka_{k}x^{k-1}+kb_{k}x^{k-1}$

Punkt b) kann man auf genau die selbe art und weiße nachrechnen, jedoch kann man hier argumentieren, dass ein Skalar aus einer Summe herausgehoben werden kann und somit ersparrt man sich das ganze nachrechnen.

Injektivität

Da es sich um Ableitungsfunktionen handelt, und jede Ableitung unendlich viele Stammfunktionen hat (verschoben um die additive Konstante) ist diese Funktion nicht injektiv.

Surjektivität

Jede Ableitungsfunktion hat auch eine bzw. sogar unendlich viele Stammfunktionen. Damit ist klar, dass die Funktion surjektiv ist.

Matrix der Linearen Abbildung

Schluss endlich muss man die Matrix A angeben, welche die Abbildung $D$ beschreibt.

Hierfürh haben wir die Basis $B=\{x^{0},x^{1},x^{2},...,x^{n}\}$ gegeben.

Für die Matrix A muss jedoch gelten:

$A*B=(0,1,2x,3x^{2},4x^{3},...,nx^{n-1})$

Daraus folgt gleich, dass die Matrix A als Spaltenmatrix so aussehen muss

$A=(0,x^{-1},2x^{-1},3x^{-1},...,nx^{-1})$