TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 540

Sei $\,V=\mathbb {R} _{n}[x]\,$ der Vektorraum der Polynome in $x$ vom Grad $\leq n$ mit Koeffizienten aus $\mathbb {R}$ . Sei weiters eine Abbildung $D$ definiert durch

$D\left(\sum _{k=0}^{n}\,a_{k}\cdot x^{k}\right)=\sum _{k=1}^{n}\,k\cdot a_{k}\cdot x^{k-1}$ .

Untersuchen Sie, ob $D$ eine lineare Abbildung ist. Untersuchen Sie $D$ weiters auf Injektivität und Surjektivitat.
Bestimmen Sie die Matrix der linearen Abbildung $D$ bezüglich der Basis $B=\left\{x^{0},\,x^{1},\,\ldots ,\,x^{n}\right\}$ von $V$ .

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Lösungsvorschlag von Königd[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

--Königd 13:43, 18. Jun. 2019 (CEST)

Wenn man sich die Angabe 527), auf der dieses Beispiel basiert, genauer anschaut, fällt einem auf, dass die Abbildung

$D(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k})=\sum _{k=1}^{n}ka_{k}x^{k-1}$

eigentlich die eine Ableitung eines Polynoms darstellt.

Lineare Abbildung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Damit eine Abbildung als lineare bezeichnet werden darf, müssen folgende Eigenschaften gelten:

a) $D(a+b)=D(a)+D(b)$

b) $D(\lambda a)=\lambda D(a)$

Punkt a) ist recht einfach zu zeigen, denn man kann es durchrechnen oder argumentieren:

$D(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}+\sum _{k=0}^{n}b_{k}x^{k})=\sum _{k=1}^{n}ka_{k}x^{k-1}$

$D(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}+\sum _{k=0}^{n}b_{k}x^{k})=\sum _{k=1}^{n}ka_{k}x^{k-1}+\sum _{k=1}^{n}kb_{k}x^{k-1}$

$D(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}+\sum _{k=0}^{n}b_{k}x^{k})=\sum _{k=1}^{n}ka_{k}x^{k-1}+kb_{k}x^{k-1}$

$D(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}+b_{k}x^{k})=\sum _{k=1}^{n}ka_{k}x^{k-1}+kb_{k}x^{k-1}$

Punkt b) kann man auf genau die selbe art und weiße nachrechnen, jedoch kann man hier argumentieren, dass ein Skalar aus einer Summe herausgehoben werden kann und somit ersparrt man sich das ganze nachrechnen.

Injektivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da es sich um Ableitungsfunktionen handelt, und jede Ableitung unendlich viele Stammfunktionen hat (verschoben um die additive Konstante) ist diese Funktion nicht injektiv.

Surjektivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede Ableitungsfunktion hat auch eine bzw. sogar unendlich viele Stammfunktionen. Damit ist klar, dass die Funktion surjektiv ist.

Matrix der Linearen Abbildung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schluss endlich muss man die Matrix A angeben, welche die Abbildung $D$ beschreibt.

Hierfürh haben wir die Basis $B=\{x^{0},x^{1},x^{2},...,x^{n}\}$ gegeben.

Für die Matrix A muss jedoch gelten:

$A*B=(0,1,2x,3x^{2},4x^{3},...,nx^{n-1})$

Daraus folgt gleich, dass die Matrix A als Spaltenmatrix so aussehen muss

$A=(0,x^{-1},2x^{-1},3x^{-1},...,nx^{-1})$

Hilfreiches von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vektorraum Polynomräume

Lineare Abbildung

Definition:

Seien $<V,\oplus ,K>$ und $<W,\boxplus ,K>$ Vektorräume über dem Körper $K$ .

$f:V\rightarrow W$ heißt lineare Abbildung (Homomorphismus), wenn

$\forall {\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in V:\quad f({\overrightarrow {x}}\oplus {\overrightarrow {y}})=f({\overrightarrow {x}})\boxplus f({\overrightarrow {y}})$
$\forall \lambda \in K:\quad f(\lambda {\overrightarrow {x}})=\lambda f({\overrightarrow {x}})$

Jede lineare Abbildung kann auch durch eine Matrix $M$ festgelegt werden, für die gilt:

\forall {\overrightarrow {x}}\in V:\quad f({\overrightarrow {x}})=M{\overrightarrow {x}}

Umgekehrt legt jede Matrix $^{n\times m}$ eine lineare Abbildung fest.

Abbildungsmatrix

Dimension

Dimension

Die Dimension eines Vektorraums bezeichnet die Anzahl der Vektoren in jeder Basis von ihm. (Alle Basen eines Vektorraums enthalten dieselbe Anzahl von Vektoren.)

Rang

Bei einer linearen Abbildung $f$ ist der Rang als Dimension des Bildes dieser Abbildung definiert. Dabei gilt stets, dass eine lineare Abbildung und die zugehörige Abbildungsmatrix denselben Rang haben:

$\operatorname {rg} (f)=\dim(\operatorname {im} (f))$ , also dem Bild der Abbildung $f$ .
Kern

Der Kern einer Abbildung dient in der Algebra dazu, anzugeben, wie stark die Abbildung von der Injektivität abweicht. Dabei ist die genaue Definition abhängig davon, welche algebraischen Strukturen betrachtet werden. So besteht beispielsweise der Kern einer linearen Abbildung $f\colon V\to W$ zwischen Vektorräumen $V$ und $W$ aus denjenigen Vektoren in $V$ , die auf den Nullvektor in $W$ abgebildet werden; er ist also die Lösungsmenge der homogenen linearen Gleichung $f(x)=0$ und wird hier auch Nullraum genannt. In diesem Fall ist $f$ genau dann injektiv, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor in $V$ besteht. Analoge Definitionen gelten für Gruppen- und Ringhomomorphismen. Der Kern ist von zentraler Bedeutung im Homomorphiesatz. Definition Ist $f\colon V\to W$ eine lineare Abbildung von Vektorräumen, dann heißt die Menge

\operatorname {Kern} f:=\{v\in V\mid f(v)=0\in W\}

der Kern von

f

. Er ist ein Untervektorraum von

V

.

Eigenschaften von Abbildungen: injektiv / surjektiv / bijektiv

Eine Funktion $f\colon X\to Y$ ist injektiv, wenn $\forall \,x_{1},x_{2}\in Y\colon \,f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$
Eine Funktion $f\colon X\to Y$ ist surjektiv, wenn $\forall \,y\in Y\colon \,\exists x\in X$ mit $f(x)=y$ .
Eine Funktion $f\colon X\to Y$ ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv, als auch surjektiv ist.

lineare Abbildung injektiv / surjektiv / bijektiv

Monomorphismus: Ein Monomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung $f\colon V\to W$ , die injektiv ist. Dies trifft genau dann zu, wenn die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix linear unabhängig sind.
Epimorphismus: Ein Epimorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung $f\colon V\to W$ , die surjektiv ist. Das ist genau dann der Fall, wenn der Algebra) Rang der Darstellungsmatrix gleich der Dimension von $\mathbf {W}$ ist.
Isomorphismus: Ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung $f\colon V\to W$ , die bijektiv ist. Das ist genau der Fall, wenn die Darstellungsmatrix regulär ist. Die beiden Räume $V$ und $W$ bezeichnet man dann als isomorph.
Endomorphismus: Ein Endomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung, bei der die Räume $V$ und $W$ gleich sind: $f\colon V\to V$ . Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung ist eine quadratische Matrix.
Automorphismus: Ein Automorphismus zwischen Vektorräumen ist eine bijektive lineare Abbildung, bei der die Räume $V$ und $W$ gleich sind. Er ist also sowohl ein Isomorphismus als auch ein Endomorphismus. Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung ist eine reguläre Matrix.

Lösungsvorschlag von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei $\,V=\mathbb {R} _{n}[x]\,$ der Vektorraum der Polynome in $x$ vom Grad $\leq n$ mit Koeffizienten aus $\mathbb {R}$ . Sei weiters eine Abbildung $D$ definiert durch

D\left(\sum _{k=0}^{n}\,a_{k}\cdot x^{k}\right)=\sum _{k=1}^{n}\,k\cdot a_{k}\cdot x^{k-1}

.

Untersuchen Sie, ob $D$ eine lineare Abbildung ist. Untersuchen Sie $D$ weiters auf Injektivität und Surjektivitat.

Bestimmen Sie die Matrix der linearen Abbildung $D$ bezüglich der Basis $B=\left\{x^{0},\,x^{1},\,\ldots ,\,x^{n}\right\}$ von $V$ .

Anmerkung: Diese lineare Abbildung ist die polynomiale $1.$ Ableitung mit Reduktion der Dimension um den Grad $1$ . Daher kann die Abbildung weder injektiv noch bijektiv sein.

Wir haben hier zwei Möglichkeiten:

Wir erstellen eine Abbildung von $V=\mathbb {R} _{n}[x]\to W=\mathbb {R} _{n-1}[x]$ , also eine Abbildung mit Dimensionsreduktion. Diese Abbildung kann natürlich nicht injektiv bzw. bijektiv sein, dafür wird diese Abbildung surjektiv sein. Die Abbildungsmatrix ist eine $(n)\times (n+1)$ -Matrix.
Wir erstellen einen Endomorphismus, also eine Abbildung von $V=\mathbb {R} _{n}[x]\to W=V=\mathbb {R} _{n}[x]$ , also eine Abbildung ohne Dimensionsreduktion. Diese Abbildung kann natürlich nicht surjektiv bzw. bijektiv sein, wird aber auch nicht injektiv sein, da die Ableitung aller Konstanten $\to {\vec {0_{n}}}$ und der Kern $\operatorname {ker} (V)=\left({\begin{array}{c}x_{0},\,0,\,\ldots ,\,0_{n}\end{array}}\right)^{T},x_{0}\in \mathbb {R} ,$ mit Defekt $\operatorname {def} (V)=1$ und $\dim(V)=n+1,\operatorname {im} (V)=n$ . Die Abbildungsmatrix ist eine $(n+1)\times (n+1)$ -Matrix.

$f:V=\mathbb {R} _{n}[x]\to W=\mathbb {R} _{n}[x]$ heißt lineare Abbildung (Homomorphismus), wenn

$\forall \;{\vec {x}},\,{\vec {y}}\in V:\quad f({\vec {x}}\oplus {\vec {y}})=f({\vec {x}})\odot f({\vec {y}})\in W$
$\forall \;\lambda \in K:\quad f(\lambda \cdot {\vec {x}})=\lambda \cdot f({\vec {x}})\in W$

Beweis der additiven Verträglichkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben seien zwei Polynome $\,p(x)=\sum _{k=0}^{n}\;p_{k}\cdot x^{k}$ und $\,q(x)=\sum _{k=0}^{n}\;q_{k}\cdot x^{k}$ beide $\in V=\mathbb {R} _{n}[x]$ vom Grad $\leq n$ mit $\,p_{k},\,q_{k}\in \mathbb {R}$ für $k=0,\ldots ,n$ .

Zuerst schauen wir uns die ersten Abbildungen für $\colon \,n=0,n=1,n=2$ an.

{\begin{alignedat}{1}\mathbf {n=0\colon \;} &D\left(\sum _{k=0}^{0}\;p_{k}\cdot x^{k}\right)&\;=\;&D(\,p_{0}\,)&\;=\sum _{k=1}^{0}\,k\cdot p_{k}\cdot x^{k-1}\;&=\;0\\\mathbf {n=1\colon \;} &D\left(\sum _{k=0}^{1}\;p_{k}\cdot x^{k}\right)&\;=\;&D(\,p_{0}+p_{1}\cdot x^{1}\,)&\;=\sum _{k=1}^{1}\,k\cdot p_{k}\cdot x^{k-1}\;&=\;1\cdot p_{1}\cdot x^{0}\,=\;p_{1}\\\mathbf {n=2\colon \;} &D\left(\sum _{k=0}^{2}\;p_{k}\cdot x^{k}\right)&\;=\;&D(\,p_{0}+p_{1}\cdot x^{1}+p_{2}\cdot x^{2}\,)&\;=\sum _{k=1}^{2}\,k\cdot p_{k}\cdot x^{k-1}\;&=\;1\cdot p_{1}\cdot x^{0}+2\cdot p_{2}\cdot x^{1}\,=\,p_{1}+2\cdot p_{2}\end{alignedat}}

Zu zeigen ist, dass $\forall \;p(x)\in V$ und $q(x)\in Vgilt\colon \,D(p(x)+q(x))=D(p(x))+D(q(x))\in W$ .

${\begin{alignedat}{1}&D\left(\,p(x)\,+\,q(x)\,\right)\,&=D\left(\,\left(\sum _{k=0}^{n}\,p_{k}\cdot x^{k}\right)+\left(\sum _{k=0}^{n}\,q_{k}\cdot x^{k}\right)\,\right)\,&=\,D\left(\,\sum _{k=0}^{n}\,(p_{k}+q_{k})\cdot x^{k}\,\right)\,=\color {green}\sum _{k=1}^{n}\;k\cdot (p_{k}+q_{k})\cdot x^{k-1}\color {black}\\&D\left(\,p(x)\,\right)+D\left(\,q(x)\,\right)\,&=\left(\sum _{k=1}^{n}\,k\cdot p_{k}\cdot x^{k-1}\,\right)+\left(\sum _{k=1}^{n}\,k\cdot q_{k}\cdot x^{k-1}\,\right)\,&=\,\color {green}\sum _{k=1}^{n}\,k\cdot (p_{k}+q_{k})\cdot x^{k-1}\color {black}\quad \in \mathbb {R} _{n-1}[x]\quad \color {green}\surd \quad q.e.d.\color {black}.\end{alignedat}}$

Beweis der multiplikativen Verträglichkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei wieder das oben definierte Polynom $p(x)$ .

Zu zeigen ist, dass $\forall \;p(x)\in V$ und $\lambda \in \mathbb {R} \colon \,E\left(\,\lambda \cdot p(x)\,\right)=\lambda \cdot E\left(\,p(x)\,\right)\in \mathbb {R} _{n-1}[x]$ gilt. ${\begin{alignedat}{1}D\left(\,\lambda \cdot p(x)\,\right)\,&=\,D\left(\,\lambda \cdot \left(\,\sum _{k=0}^{n}\,p_{x}\cdot x^{k}\,\right)\,\right)\,&=\,D\left(\,\sum _{k=0}^{n}\,(\lambda \cdot p_{x})\cdot x^{k}\,\right)\,&=\,\sum _{k=1}^{n}\,k\cdot (\lambda \cdot p_{k})\cdot x^{k-1}\,=\,(\color {green}\in \mathbb {R} _{n-1}[x]\color {black})\\\,&=\,\sum _{k=1}^{n}\,\lambda \cdot (k\cdot p_{k})\cdot x^{k-1}\,&=\,\lambda \cdot \left(\,\sum _{k=1}^{n}\,k\cdot p_{k}\cdot x^{k-1}\,\right)\,&=\,\lambda \cdot D\left(\,p(x)\,\right)\quad \color {green}\surd \quad {\text{ q.e.d}}.\end{alignedat}}$

$\implies D$ ist eine lineare Abbildung.

Matrix von D[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie bereits oben erwähnt, haben wir zwei Möglichkeiten:

Wir erstellen eine Abbildung $D$ von $V=\mathbb {R} _{n}[x]\to W=\mathbb {R} _{n-1}[x]$ mit Dimensionsreduktion oder
Wir erstellen einen Endomorphismus $D$ von $V=\mathbb {R} _{n}[x]\to W=V=\mathbb {R} _{n}[x]$ , also ohne Dimensionsreduktion.

Wir schauen uns die Bilder der Basisvektoren an (eigentlich als Spaltenvektor: da es platzsparender ist, als transponierter Vektor):

${\begin{alignedat}{1}&D\left(\,x^{0}\,\right)&=0\,&\to \,\left({\begin{array}{rrrrrrr}0_{(0,0)},\,&0,\,&0,\,&0,\,&0,\,&\cdots ,\,&0_{(0,n-1)}\end{array}}\right)^{T}&\\&D\left(\,x^{1}\,\right)&=1\cdot x^{0}=1\,&\to \,\left({\begin{array}{rrrrrrr}1_{(1,0)},\,&0,\,&0,\,&0,\,&0,\,&\cdots ,\,&0_{(1,n-1)}\end{array}}\right)^{T}&\\&D\left(\,x^{2}\,\right)&=2\cdot x^{1}\,&\to \,\left({\begin{array}{rrrrrrr}0_{(2,0)},\,&2,\,&0,\,&0,\,&0,\,&\cdots ,\,&0_{(2,n-1)}\end{array}}\right)^{T}&\\&D\left(\,x^{r}\,\right)&=r\cdot x^{r-1}\,&\to \,\left({\begin{array}{rrrrrrr}0_{(r,0)},\,&0,\,&0,\,&\cdot ,&r_{(r,r-1)},&\cdot ,&0_{(r,n-1)}\end{array}}\right)^{T}&\\&D\left(\,x^{n}\,\right)&=n\cdot x^{n-1}\,&\to \,\left({\begin{array}{rrrrrrr}0_{(n,0)},\,&0,\,&0,\,&0,\,&0,\,&\cdots ,&n_{(n,n-1)}\end{array}}\right)^{T}&\end{alignedat}}$

D.h. unsere Abbildungsmatrix $D$ hat die Dimension $(n)\times (n+1)$ , besteht aus den oben angegebenen Spaltenvektoren, hat folgende Eigenschaften und schaut mit zusätzlicher Überschrift in der Matrix folgend aus:

Die Diagonale der Matrix hat für ( $i.$ -te Zeile und $j.$ -ten Spalte mit $i=j$ ) lauter $0$ er,
unterhalb dieser Diagonale (für $i>j$ stehen auch lauter $0$ er,
direkt oberhalb der Diagonale stehen die Werte der Matrix mit $1$ beginnend in der $1.$ Zeile und $2.$ Spalte. Die Werte in der $i.$ -ten Zeile, $(i+1).$ -ten Spalte sind $i$ ,
direkt oberhalb dieser Werte stehen wieder nur $0$ .

$D=\left({\begin{array}{ccccccc}x_{0}&x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&\cdots &x_{n}\\\hline 0_{(0,0)}&1&0&0&0&\cdots &0_{(0,n)}\\0_{(1,0)}&0&2&0&0&\cdots &0_{(1,n)}\\0_{(2,0)}&0&0&3&0&\cdots &0_{(2,n)}\\0_{(3,0)}&0&0&0&4&\cdots &0_{(3,n)}\\0_{(4,0)}&0&0&0&0&\cdots &0_{(4,n)}\\0_{(5,0)}&0&0&0&0&\cdots &0_{(5,n)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{(n-1,0)}&0&0&0&0&0&n_{(n-1,n)}\\\end{array}}\right)$

Abbildung bzw. Matrix injektiv, surjektiv, bijektiv[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist diese Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv?

Wir haben hier zwei Möglichkeiten:

So wie oben: Wir erstellen eine Abbildung von $V=\mathbb {R} _{n}[x]\to W=\mathbb {R} _{n-1}[x]$ , also eine Abbildung mit Dimensionsreduktion. Diese Abbildung kann natürlich nicht injektiv bzw. bijektiv sein, dafür wird diese Abbildung surjektiv sein. Die Abbildungsmatrix ist eine $(n)\times (n+1)$ -Matrix. Diese Matrix hat an $n$ unterschiedlichen Zeilen bzw. Spalten einen einzigen Eintrag $\neq 0$ und muss daher den Rang $\operatorname {rg} (D)=n$ haben. Die Dimension von $dim(V)=dim(\mathbb {R} _{n}[x])=n+1$ . D.h. der Defekt $\operatorname {def} (D)=1$ - klar das sind die Konstanten, also alle ${\vec {x}}=\left(x_{0},0,\ldots ,0_{n}\right)^{T},x_{0}\in \mathbb {R}$ . D.h, dass diese Abbildung $D$ surjektiv ist.
Wir erstellen einen Endomorphismus, also eine Abbildung von $V=\mathbb {R} _{n}[x]\to W=V=\mathbb {R} _{n}[x]$ , also eine Abbildung ohne Dimensionsreduktion. Diese Abbildung kann natürlich nicht surjektiv bzw. bijektiv sein, wird aber auch nicht injektiv sein, da die Ableitung aller Konstanten $\to {\vec {0_{n}}}$ und der Kern $\operatorname {ker} (V)=\left(x_{0},0,\ldots ,0_{n}\right)^{T},x_{0}\in \mathbb {R} ,$ mit Defekt $\operatorname {def} (V)=1$ und $\dim(V)=n+1,\,\dim(\,\operatorname {im} (V)\,)=n$ . Die Abbildungsmatrix ist eine $(n+1)\times (n+1)$ -Matrix. Die Matrix von oben mit einer zusätzlichen unteren Zeile mit lauter $0$ .

$\quad \quad$ Anmerkung zur Surjektivität in Punkt $2$ : Durch die Reduzierung der Potenzen $x^{n}\to x^{n-1}$ fehlen im Bildraum alle Bilder mit der höchsten Potenz $x^{n}$ . $\qquad \qquad \blacksquare$