TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 565

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Man berechne:


\left|
\begin{array}{rrrr}
1 & 3 & -1 & 5\\
2 & 7 & 0 & 2\\
-1 & -2 & 4 & 0\\
1 & 2 & -5 & -3
\end{array}
\right|

Hilfreiches[Bearbeiten]

Lösungsvorschlag von Königd[Bearbeiten]

Hier gibt es mehrer Varianten zu einer Lösung zu kommen:

1) Laplace'scher Entwicklungssatz

2) Umformen auf untere/obere Dreiecks Matrix

Hier ist meiner Meinung nach 2) viel einfacher und schneller zu machen


\left|
\begin{array}{rrrr}
1 & 3 & -1 & 5\\
2 & 7 & 0 & 2\\
-1 & -2 & 4 & 0\\
1 & 2 & -5 & -3
\end{array}
\right|

Wir verwenden die erste Zeile um die anderen zu vereinfachen.


II: II - 2*I


III: III + I


IV: IV - I

Dadurch erhalten wir:


\left|
\begin{array}{rrrr}
1 & 3 & -1 & 5\\
0 & 1 & 2 & -8\\
0 & 1 & 3 & 5\\
0 & 1 & -4 & -8
\end{array}
\right|

Als nächstes nutzen wir die zweite Zeile um weiter umzuformen.


III: III - II


IV: IV + II

Dadurch erhalten wir:


\left|
\begin{array}{rrrr}
1 & 3 & -1 & 5\\
0 & 1 & 2 & -8\\
0 & 0 & 1 & 13\\
0 & 0 & -2 & -16
\end{array}
\right|

Nun fehlt uns noch der letzte Schritt damit wir die obere Dreiecksform unserer Matrix erreichen. Die bekommen wir durch die Umformung:

IV: IV + 2*II


\left|
\begin{array}{rrrr}
1 & 3 & -1 & 5\\
0 & 1 & 2 & -8\\
0 & 0 & 1 & 13\\
0 & 0 & 0 & 10
\end{array}
\right|

Jetzt wo wir die obere Dreiecksform erreicht haben, können wir die Determinante so ausrechnen indem wir


det A = a_{11} * a_{22} * a_{33} * ... * a_{nn}

berechnen. In diesem Fall ist es ganz einfach  det A = 1 * 1 * 1 * 10 = 10

--Königd 17:04, 22. Jun. 2019 (CEST)