TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 560

Man berechne

${\begin{vmatrix}1&3&-1&5\\2&7&0&2\\-1&-2&4&0\\0&2&1&-3\end{vmatrix}}$

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Anmerkung zu den Lösungsvorschlägen

Der Lösungsvorschlag von Mordeth ist wahrscheinlich der von unseren Professoren angedachte - nämlich der den Laplace'schen Entwicklungssatz benützende Lösungsweg.

Mein Lösungsvorschlag ist aus einer "Entdeckungsfahrt" durch das "Reich der Matrizen" entsprungen, und zwar durch die Feststellung dass gilt:

• Falls A eine "obere [untere] Dreiecksmatrix" ist, d.h. $a_{i,j}$ = 0 für i > [<] j (nur Nullen unterhalb [oberhalb] der Hauptdiagonalen), dann ist $det(A)=a_{1,1}*a_{2,2}*\dots *a_{n,n}$ das Produkt der Hauptdiagonal-Einträge.

Richtig sind beide, und es wird sicher auch noch andere geben, die sich diverse Eigenschaften von Matrizen zunutze machen! --Mnemetz 06:22, 16. Dez 2005 (CET)

Lösungsvorschlag von Mordeth

Aus f.thread:37934 übernommen und erweiternd/erklärend editiert --Mnemetz 05:25, 16. Dez 2005 (CET)

Berechnung der Determinante durch Entwicklung nach einer Zeile/Spalte (Entwicklung nach der i-ten Zeile (Laplacescher Entwicklungssatz)), kombiniert mit dem Gauß'schen Eliminationsverfahren:

${\begin{vmatrix}1&3&-1&5\\2&7&0&2\\-1&-2&4&0\\0&2&1&-3\end{vmatrix}}$

Man zieht nach Gauss das 2fache der ersten Zeile von der zweiten Zeile ab bzw. addiert die erste Zeile zur dritten, um in der ersten Spalte einen Wert 1 und sonst lauter Nullen zu erhalten:

${\begin{vmatrix}1&3&-1&5\\2&7&0&2\\-1&-2&4&0\\0&2&1&-3\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&3&-1&5\\0&1&2&-8\\0&1&3&5\\0&2&1&-3\end{vmatrix}}$

Nun entwickelt man nach der ersten Spalte und erhält:

${\begin{vmatrix}1&3&-1&5\\2&7&0&2\\-1&-2&4&0\\0&2&1&-3\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&3&-1&5\\0&1&2&-8\\0&1&3&5\\0&2&1&-3\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&2&-8\\1&3&5\\2&1&-3\end{vmatrix}}$

Nun entwickelt man nach der ersten Zeile und erhält:

${\begin{vmatrix}1&3&-1&5\\2&7&0&2\\-1&-2&4&0\\0&2&1&-3\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&3&-1&5\\0&1&2&-8\\0&1&3&5\\0&2&1&-3\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&2&-8\\1&3&5\\2&1&-3\end{vmatrix}}=1*{\begin{vmatrix}3&5\\1&-3\end{vmatrix}}-2*{\begin{vmatrix}1&5\\2&-3\end{vmatrix}}-8*{\begin{vmatrix}1&3\\2&1\end{vmatrix}}=-14+26+40=\mathbf {52}$

Edit von @Mordeth: 2 falsche Zahlenwerte in der letzten 2*2-Matrix ausgebessert.

Lösungsvorschlag von mnemetz

Grundlagen

Im Allgemeinen können Determinanten mit dem Gauß-Algorithmus berechnet werden, unter Verwendung der folgenden Regeln:

• Falls A eine "obere [untere] Dreiecksmatrix" ist, d.h. $a_{i,j}$ = 0 für i > [<] j (nur Nullen unterhalb [oberhalb] der Hauptdiagonalen), dann ist $det(A)=a_{1,1}*a_{2,2}*\dots *a_{n,n}$ das Produkt der Hauptdiagonal-Einträge.

${\begin{vmatrix}{\mathit {2}}&6&-7&9\\\mathbf {0} &{\mathit {3}}&1&2\\\mathbf {0} &\mathbf {0} &{\mathit {1}}&1\\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {0} &{\mathit {2}}\end{vmatrix}}$ Dreiecksmatrix

• Falls B sich aus A ergibt, indem man 2 Zeilen oder Spalten austauscht, dann ist det(B) = - det(A)
• Falls B sich aus A ergibt, indem man eine Zeile oder Spalte mit der Zahl c multipliziert, dann ist det(B) = c * det(A)
• Falls B sich aus A ergibt, indem man ein Vielfaches einer Zeile oder Spalte zu einer anderen Zeile oder Spalte addiert, dann ist det(B) = det(A).

Beginnend mit einer beliebigen quadratischen Matrix benutzt man die letzten drei Regeln, um die Matrix in eine obere Dreiecksmatrix zu überführen, und berechnet dann die Determinante mit der ersten Regel.

Es ist außerdem möglich, eine Determinante "nach einer Zeile oder Spalte zu entwickeln", indem man die Laplace-Formel benutzt, die für kleine Matrizen oder Matrizen mit vielen Nullen sehr effizient ist.

Kommentierte Lösung

Erster Schritt: Matrix analyisieren

Es ist sehr wichtig, die Matrix am Beginn sorgfältig zu analysieren! Mir fiel auf:

1. Die erste Spalte besitzt praktischerweise eine Null - das Entwickeln nach dieser würde also leicht vonstatten gehen (Anmerkung: trifft auch auf die zweite und dritte Zeile zu!)
2. $a_{1,1}$ ist Eins - wäre ein guter Start um die Determinante Diagonalproduktsumme aus einer Dreiecksmatrix zu errechnen!

Da beide Punkte Hand in Hand gehen, habe ich mich entschlossen, die Determinante Diagonalproduktsumme aus einer Dreiecksmatrix zu errechnen! In meinem Lösungsweg habe ich dabei die "linke untere" Hälfte der Matrix zu Nullen entwickelt - im Nachhinein stelle ich fest, dass die obere evtl. leichter ginge, weil dort zwei Nullen drinnen sind!

${\begin{vmatrix}{\mathit {1}}&3&-1&5\\2&{\mathit {7}}&\mathbf {0} &2\\-1&-2&{\mathit {4}}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &2&1&{\mathit {-3}}\end{vmatrix}}$ Auffälligkeiten in der Matrix

Zweiter Schritt: Zweite und dritte Zeile vereinfachen

Zweite Zeile

Folgende Rechenvorschrift wird ausgeführt: $2.{\text{ Zeile }}-(2*1.{\text{ Zeile }})=2.{\text{ Zeile}}_{neu}$

  2-2*1     7-2*3   0-(-1)*2     2-2*5

Dritte Zeile

Folgende Rechenvorschrift wird ausgeführt: $1.{\text{ Zeile }}+3.{\text{ Zeile }}=3.{\text{ Zeile}}_{neu}$

  1+(-1)     3+(-2)     -1+4     5+0

Zusammenfassung: Zweiter Schritt

${\begin{vmatrix}1&3&-1&5\\2&7&0&2\\-1&-2&4&0\\0&2&1&-3\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&3&-1&5\\0&1&2&-8\\0&1&3&5\\0&2&1&-3\end{vmatrix}}$

Dritter Schritt: Dritte und vierte Zeile vereinfachen

Dritte Zeile

Folgende Rechenvorschrift wird ausgeführt: $3.{\text{ Zeile }}-2.{\text{ Zeile }}=3.{\text{ Zeile}}_{neu}$

  0     1-1     3-2     5-(-8)

Vierte Zeile

Folgende Rechenvorschrift wird ausgeführt: $4.{\text{ Zeile }}-(2*2.{\text{ Zeile }})=4.{\text{ Zeile}}_{neu}$

  0     2-2*1      1-2*2     -3-2*(-8)

Zusammenfassung: Dritter Schritt

${\begin{vmatrix}1&3&-1&5\\2&7&0&2\\-1&-2&4&0\\0&2&1&-3\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&3&-1&5\\0&1&2&-8\\0&1&3&5\\0&2&1&-3\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&3&-1&5\\0&1&2&-8\\0&0&1&13\\0&0&-3&13\end{vmatrix}}$

Abschluss: Vierte Zeile Vereinfachen, Determinante berechnen

Vierte Zeile

Folgende Rechenvorschrift wird ausgeführt: $3*(3.{\text{ Zeile }})+4.{\text{ Zeile }})=4.{\text{ Zeile}}_{neu}$

  0     0     3+(-3)     3*13+13

Zusammenfassung vierter Schritt

${\begin{vmatrix}1&3&-1&5\\2&7&0&2\\-1&-2&4&0\\0&2&1&-3\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&3&-1&5\\0&1&2&-8\\0&1&3&5\\0&2&1&-3\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&3&-1&5\\0&1&2&-8\\0&0&1&13\\0&0&-3&13\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&3&-1&5\\0&1&2&-8\\0&0&1&13\\0&0&0&52\end{vmatrix}}$

Determinante aus der Hauptdiagonale errechnen

1*1*1*52=52

Ressourcen

Literatur

• Baron/Kirschenhofer, Einführung in die Mathematik für Informatiker, Band 1, 1989, 2.Aufl., S. 77ff.
• Gröber, Matrizenrechnung, Hochschultaschenbücher 130, Mannheim 1966
• Meyberg/Vachenauer, Höhere Mathematik 1, Springer 1989, 250ff.
• Preuß/Wenisch, Lehr- und Übungsbuch numerische Mathematik, Hanser 2001, 63ff.
• Rießinger, Mathematik für Ingenieure, Springer 2001, 473ff.
• Skriptum S. 77ff.

Web

• https://web.archive.org/web/20180817161210/http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/determinanten.htm
• http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante_%28Mathematik%29
• http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsches_Eliminationsverfahren
• http://de.wikipedia.org/wiki/Matrix_%28Mathematik%29
• http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node49.html