TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 33

Man bestimme rechnerisch (ohne Taschenrechner) und graphisch Summe und Produkt der komplexen Zahlen $z_1=3-4i$ und $z_2=[2,\frac{\pi }{2}]$.

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Hilfreiches

Addition komplex

Addition komplex

Addition von komplexen Zahlen in kartesischer Darstellung:

$(a+𝗂b)+(c+𝗂d)=(a+c)+𝗂(b+d)$

Multiplikation komplex

Multiplikation komplex

Multiplikation von komplexen Zahlen in Polar-Darstellung:

$[r_1,{\phi }_1]\cdot [r_2,{\phi }_2]=[r_1\cdot r_2,{\phi }_1+{\phi }_2]$

$\Rightarrow$ Division in Polar-Darstellung:

$\frac{[r_1,{\phi }_1]}{[r_2,{\phi }_2]}=[r_1/r_2,{\phi }_1-{\phi }_2]$

Lösungsvorschlag

$z_2=[2,\frac{\pi }{2}]$ entspricht $2i$ (da der Radius $r=2$ und der Winkel $\varphi =\frac{\pi }{2}$ ist $⟶$ nur auf imaginärer Achse, kein Realteil.)

$\begin{array}{cc}{z}_1+z_2& =(3-4i)+2i=3-2i\\ z_1\cdot z_2& =(3-4i)\cdot 2i=6i-8i^2=6i-(-8)=8+6i\end{array}$

Graphisch entspricht die Addition zweier komplexen Zahlen einfach einer Vektoraddition und die Multiplikation einer Dreh-Streckung. Also der neue Winkel ist die Summe beider Winkel und die Länge r bildet sich aus dem Produkt beider Längen.