TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 397

Auf $ℤ_{2}^{2}$ sei eine Addition $+_{2}$ komponentenweise definiert, d.h., $(a_{1}, a_{2}) +_{2} (b_{1}, b_{2}) = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2})$ . Beweisen Sie, dass $(ℤ_{2}^{2}, +_{2})$ eine Gruppe ist und geben Sie auch die Operationstafel von $+_{2}$ an.

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$ℤ_{2}^{2} = {(\overline{0}, \overline{0}), (\overline{0}, \overline{1}), (\overline{1}, \overline{0}), (\overline{1}, \overline{1})}$

$((\overline{a_{1}}, \overline{a_{2}}) +_{2} (\overline{b_{1}}, \overline{b_{2}})) +_{2} (\overline{c_{1}}, \overline{c_{2}}) = (\overline{a_{1}} + \overline{b_{1}}, \overline{a_{2}} + \overline{b_{2}}) +_{2} (\overline{c_{1}}, \overline{c_{2}}) = (\overline{a_{1}} + \overline{b_{1}} + \overline{c_{1}}, \overline{a_{2}} + \overline{b_{2}} + \overline{c_{2}}) = (\overline{a_{1} + b_{1} + c_{1}}, \overline{a_{2} + b_{2} + c_{2}})$

$(\overline{a_{1}}, \overline{a_{2}}) +_{2} ((\overline{b_{1}}, \overline{b_{2}}) +_{2} (\overline{c_{1}}, \overline{c_{2}})) = (\overline{a_{1}}, \overline{a_{2}}) +_{2} (\overline{b_{1}} + \overline{c_{1}}, \overline{b_{2}} + \overline{c_{2}}) = (\overline{a_{1}} + \overline{b_{1}} + \overline{c_{1}}, \overline{a_{2}} + \overline{b_{2}} + \overline{c_{2}}) = (\overline{a_{1} + b_{1} + c_{1}}, \overline{a_{2} + b_{2} + c_{2}})$
$\Rightarrow a s s o z i a t i v$

$+_{2}$	$(\overline{0}, \overline{0})$	$(\overline{0}, \overline{1})$	$(\overline{1}, \overline{0})$	$(\overline{1}, \overline{1})$
$(\overline{0}, \overline{0})$	$(\overline{0}, \overline{0})$	$(\overline{0}, \overline{1})$	$(\overline{1}, \overline{0})$	$(\overline{1}, \overline{1})$
$(\overline{0}, \overline{1})$	$(\overline{0}, \overline{1})$	$(\overline{0}, \overline{0})$	$(\overline{1}, \overline{1})$	$(\overline{1}, \overline{0})$
$(\overline{1}, \overline{0})$	$(\overline{1}, \overline{0})$	$(\overline{1}, \overline{1})$	$(\overline{0}, \overline{0})$	$(\overline{0}, \overline{1})$
$(\overline{1}, \overline{1})$	$(\overline{1}, \overline{1})$	$(\overline{1}, \overline{0})$	$(\overline{0}, \overline{1})$	$(\overline{0}, \overline{0})$

Aus der Operationstafel kann man herauslesen, dass jede Verknüpfung mit $+_{2}$ immer in $ℤ_{2}^{2}$ bleibt. $\Rightarrow a b g e s c h l o s s e n$

$\forall \overline{a_{1}}, \overline{a_{2}} \in ℤ_{2}^{2} : (\overline{a_{1}}, \overline{a_{2}}) +_{2} (\overline{0}, \overline{0}) = (\overline{a_{1}} + \overline{0}, \overline{a_{2}} + \overline{0}) = (\overline{a_{1}}, \overline{a_{2}}) \to e = (\overline{0}, \overline{0}) \Rightarrow n e u t r a l e s E l e m e n t$

$\forall \overline{a_{1}}, \overline{a_{2}} \in ℤ_{2}^{2} : \exists (\overline{b_{1}}, \overline{b_{2}}) \in ℤ_{2}^{2} : (\overline{a_{1}}, \overline{a_{2}}) +_{2} (\overline{b_{1}}, \overline{b_{2}}) = (\overline{0}, \overline{0}) \to \overline{b_{1}} = (\overline{a_{1}})^{- 1}, \overline{b_{2}} = (\overline{a_{2}})^{- 1} \Rightarrow i n v e r s e E l e m e n t e$
(Das inverse Element ist immer die Restklasse selber d.h $(\overline{0})^{- 1} = \overline{0}, (\overline{1})^{- 1} = \overline{1}$ )

TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 397

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