TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 72

Beweisen Sie: Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 3 teilbar ist. Mit der Ziffernsumme einer Zahl ist die Summe der Ziffern ihrer Dezimaldarstellung gemeint.

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== Lösungsvorschlag von ~~~ ==
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Siehe auch Hilfe:Formeln und Hilfe:Beispielseiten.

Lösungsvorschlag von essenspause

Angenommen die Zahl der Darstellung $a_n{a}_{n-1}{a}_{n-2}\mathrm{...}{a}_0$ ist durch 3 teilbar. Dann gilt für die Dezimalentwicklung:

$a_n\ast 10^n+a_{n-1}\ast 10^{n-1}+\mathrm{...}+a_0\ast 1\equiv 0mod3$

10 stellt in mod 3 als multiplikative konstante aber ein neutrales Element dar, weil $10\equiv 1mod3$ entsprechend gilt dies für alle $10^n\equiv 1mod3$.

Daher folgt aus der Darstellung als Dezimalentwicklung:

$a_n+a_{n-1}+\mathrm{...}+a_0\equiv 0mod3$

Was der Ziffernsumme entspricht.

Der Umgekehrte Schluss ist auch möglich (einzelne Ziffern mit 10^n zu multiplizieren), da es jeweils das neutrale Element ist. Entsprechend ist die Äquivalenz bewiesen.

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