TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 103

Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Identitäten für Mengen:

$(A\times B)\cup (A\times C)=A\times (B\cup C)$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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$(A\times B)\cup (A\times C)$ sind alle Paare $(a\in A,b\in B)\cup (a\in A,c\in C)$, also die Paare $(a\in A,\times \in B\cup C)$, also $A\times (B\cup C)$.

$A\times (B\cup C)$ sind die Paare $(a\in A,x\in B\cup C)$ , also $(a\in A,b\in B)u(a\in A,c\in C)$ , also $(A\times B)\cup (A\times C)$.

Lg, AXEL.

Lösung von Robert (Uni Karlsruhe)

Freund von mir aus Karlsruhe, Techn. Mathematik. 5. Semester, eklärt es so:

$(A\times B)$ ist die Menge ALLER Vektoren (x,y), die du bilden kannst, in dem du in die erste Komponente ("x") ein Element aus A reinsteckst und in die 2. Komponente ("y") ein Element aus B nimmst.

Beispiel zum besseren Verständnis

Term Links:

Wir nehmen an dass $A=\{a1,a2\}$

Wir nehmen an dass $B=\{b1\}$

Wir nehmen an dass $C=\{c1,c2\}$

Zunächst berechne ich $(A\times B)=\{(a1,b1),(a2,b1)\}$ und $(A\times C)=\{(a1,c1),(a1,c2),(a2,c1),(a2,c2)\}$

Wenn ich jetzt beide Mengen vereinige, steck ich einfach alle Elemente in eine neue "große" Menge $(A\times B)\cup (A\times C)=\{(a1,b1),(a2,b1),(a1,c1),(a1,c2),(a2,c1),(a2,c2)\}$ und diese große Menge will ich jetzt wieder "umschreiben" in eine Schreibweise mit Kreuzprodukt x.

Schau ich mir die Menge also an

Es treten alle Kombinationen auf, in denen die erste Komponente aus A (also a1 oder a2) und die zweite Komponente aus B oder aus C ist (also b1, c1, c2), insgesamt also aus $(B\cup C)$.

Term Rechts:

Also die erste aus $A$, die zweite aus $(B\cup C)$, und damit alle möglichen kombinationen mathematisch geschrieben $A\times (B\cup C)$

$A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$ was z.z. war

LG, Dominique

Wahrheitstabelle

Geht auch mit Wahrheitstabelle.

wurlog: Wie sieht die Wahrheitstabelle fürs Kartesisches Produkt aus?

thomarsch: kart. produkt ist ja nur eine logische "und" ausführung. siehe buch: $A\times B=\{\langle a,b\rangle \ |\ a\in A\land b\in B\}$ das einzige was mir da allerdings nicht klar ist, wenn dus umgekehrt hast, dürfts ja nicht das selbe sein. also $A\times B$ ist nicht das selbe wie $B\times A$, auf der wahrheitstafel schon. hmm

Hier mal die Wahrheitstabelle aus der Übungsgruppe M:

                       1.   3.  2.    6.   5.  4.

                      a,b       a,c            b,c 

$a\in A$ |$b\in B$ |$c\in C$|$(A\times B)\cup (A\times C)=A\times (B\cup C)$

  1      1      1      1     1   1         1    1
  1      1      0      1     1   0         1    1
  1      0      1      0     1   1         1    1
  1      0      0      0     0   0         0    0
  0      1      1      0     0   0         0    1
  0      1      0      0     0   0         0    1
  0      0      1      0     0   0         0    1
  0      0      0      0     0   0         0    0

                             *         =   *

Und hier die Wahrheitstabelle, wie wir es in der Übungsgruppe besprochen haben

Die obige soll in der Form nicht korrekt sein, da es ja keine und-Verknüpfung sondern ein kartesisches Produkt ist. --Anwesender 15:37, 23. Apr. 2009 (CEST)

Thomas

Links zu anderen Lösungen des gleichen Beispiels

TU_Wien:Mathematik_1_UE_(diverse)/Übungen_WS06/Beispiel_21

$A$	$B$	$C$	$A\times B$	$A\times C$	$(A\times B)\cup (A\times C)$	$B\cup C$	$A\times (B\cup C)$
$0$	$0$	$0$	$\left\langle 0,0\right\rangle$	$\left\langle 0,0\right\rangle$	$\left\langle 0,0\right\rangle$	$0$	$\left\langle 0,0\right\rangle$
$1$	$0$	$0$	$\left\langle 1,0\right\rangle$	$\left\langle 1,0\right\rangle$	$\left\langle 1,0\right\rangle$	$0$	$\left\langle 1,0\right\rangle$
$0$	$1$	$0$	$\left\langle 0,1\right\rangle$	$\left\langle 0,0\right\rangle$	$\left\langle 0,1\right\rangle$	$1$	$\left\langle 0,1\right\rangle$
$1$	$1$	$0$	$\left\langle 1,1\right\rangle$	$\left\langle 1,0\right\rangle$	$\left\langle 1,1\right\rangle$	$1$	$\left\langle 1,1\right\rangle$
$0$	$0$	$1$	$\left\langle 0,0\right\rangle$	$\left\langle 0,1\right\rangle$	$\left\langle 0,1\right\rangle$	$1$	$\left\langle 0,1\right\rangle$
$1$	$0$	$1$	$\left\langle 1,0\right\rangle$	$\left\langle 1,1\right\rangle$	$\left\langle 1,1\right\rangle$	$1$	$\left\langle 1,1\right\rangle$
$0$	$1$	$1$	$\left\langle 0,1\right\rangle$	$\left\langle 0,1\right\rangle$	$\left\langle 0,1\right\rangle$	$1$	$\left\langle 0,1\right\rangle$
$1$	$1$	$1$	$\left\langle 1,1\right\rangle$	$\left\langle 1,1\right\rangle$	$\left\langle 1,1\right\rangle$	$1$	$\left\langle 1,1\right\rangle$