TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 116

$mRn\Leftrightarrow ggT(m,n)=2,m,n\in \{2,4,6,...\}$, wobei ggT(m,n) den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen m und n beschreibt.

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Äquivalenzrelation

Reflexivität

$ggT(m,n)=2,\forall n\in M$ ist nicht gegeben (ausser m = 2)

Symmetrie

$ggT(m,n)=2\Rightarrow ggT(n,m)=2$ ist gegeben, denn $2|m\wedge 2|n\Rightarrow 2|n\wedge 2|m$ - die Reihenfolge von m und n ist nicht von Bedeutung

Transitivität

$ggt(m,n)=2\wedge ggt(n,p)=2\Rightarrow ggT(m,p)=2$ ist nicht gegeben

Ein einfaches Gegenbeispiel:

m = 8, n = 10, p = 12:

• 8R10 <=> ggT(8,10) = 2
• 10R12 <=> ggT(10,12) = 2
• 8R10 & 10R12 => 8R12 <=> ggT(8,12) = 4 => nicht transitiv

Schlussfolgerung

Es liegt keine Äquivalenzrelation vor!