TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 136

Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Relationen $R\subseteq A\times B$ um Funktionen, injektive Funktionen, surjektive Funktionen bzw. bijektive Funktionen handelt.

$R=\{(\sqrt{x},\frac{1}{x})|x\in {ℝ}^{+}\},A=B={ℝ}^{\mathbb{+}}$

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Hilfreiches

Funktion

Funktion

Eine Funktion oder Abbildung $f:A\to B$ von $A$ nach $B$ ist eine Relation $R_f\subseteq A\times B$ mit der Eigenschaft, dass zu jedem $a\in A$ genau ein $b\in B$ mit $a{R}_{f}b$ existiert. Man schreibt dafür $b=f(a)$. Der Graph einer Funktion $f:A\to B$ ist die Menge $\{(a,f(a))|a\in A\}\subseteq A\times B$.

Injektivität

Injektivität

"Verschiedene Elemente der Definitionsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet": $a_1,a_2\in A,a_1\ne a_2\Rightarrow f(a_1)\ne f(a_2)$ oder äquivalent: $a_1,a_2\in A,f(a_1)=f(a_2)\Rightarrow a_1=a_2$

Surjektivität

Surjektivität

Jedes Element der Zielmenge tritt mindestens einmal als Funktionswert auf: $\mathrm{\forall }b\in B\mathrm{\exists }a\in A:b=f(a)$

Bijektivität

Bijektivität

Eine Funktion ist bijektiv, wenn Injektivität & Surjektivität vorliegt. Diese Eigenschaft impliziert die Existenz einer Umkehrfunktion $f^{-1}()$.

Lösungsvorschlag

Grundlegende Überlegungen

${ℝ}^{+}=\{x\in ℝ|x>0\}$

${ℝ}_0^{+}=\{x\in ℝ|x\ge 0\}$

Zuerst sollte man sich überlegen, mit welchen Funktionen man es hier überhaupt zu tun hat.

Zuerst $\sqrt{x}$:

Per Definition gilt:

$\sqrt{x}:{ℝ}^{+}\to {ℝ}^{+}$

$\frac{1}{x}:ℝ\mathrm{\setminus }\{0\}\to ℝ$

Aber weil hier gilt $x\in {ℝ}^{+}$ folgt $\frac{1}{x}:{ℝ}^{+}\to {ℝ}^{+}$

Funktion

Damit die Relation eine Funktion ist muss jedes $a\in A={ℝ}^{+}$ genau einem $b\in B={ℝ}^{+}$ zugeordnet werden.

Nun zuerst bildet $\sqrt{x}A={ℝ}^{+}$ auf $B^{\prime }={ℝ}^{+}$ ab. Und dann wird $B^{\prime }={ℝ}^{+}$ durch $\frac{1}{x}$ auf $B={ℝ}^{+}$ abgebildet.

Wichtig ist es hier zu erkennen, dass

• jedes $a\in A={ℝ}^{+}$ abgebildet wird (es gibt keine Bereiche/ Werte in ${ℝ}^{+}$ die man nicht in die beiden Funktionen einsetzen dürfte)
• jedes $a\in A={ℝ}^{+}$ auf nur genau ein $b\in B={ℝ}^{+}$ abgebildet wird (es kann nicht passieren dass für ein $a\in A={ℝ}^{+}$ mehrere $b\in B={ℝ}^{+}$ möglich sind)

Daher sind die Vorrausetzungen für eine Funktion erfüllt und die Relation ist eine Funktion.

$f:\{\begin{array}{c}{ℝ}^{+}\to {ℝ}^{+}\\ \sqrt{x}\mapsto \frac{1}{x}\end{array}$

Nachdem $\sqrt{x}$ (nach Definition) bijektiv gibt es eine Umkehrfunktion davon und man kann die Funktion noch etwas einfacher darstellen:

$f:\{\begin{array}{c}{ℝ}^{+}\to {ℝ}^{+}\\ x\mapsto \frac{1}{x^2}\end{array}$

Injektivität

$\frac{1}{x^2}$ ist in ${ℝ}^{+}$ injektiv, weil für alle $a_1,a_2\in A:a_1\ne a_2\Rightarrow f(a_1)\ne f(a_2)$ gilt. (es gibt alle keine Funktionswerte die doppelt vorkommen)

Anmerkung: In $ℝ$ gilt das aber natürlich nicht mehr: $\frac{1}{(-1{)}^2}=\frac{1}{1^2}$ Was ist mit wurzel(-2)? Deshalb kann die funktion f(x)=wurzel(x) nicht bijektiv sein, oder? Antwort: Richtig. Gegeben ist aber (vermutlich genau deswegen) A = B = ${ℝ}^{+}$

Surjektivität

$\frac{1}{x^2}$ ist in ${ℝ}^{+}$ surjektiv, weil $\mathrm{\forall }b\in B\mathrm{\exists }a\in A:b=f(a)$ gilt. (für jedes Element des Bildbereichs B lässt sich ein zugehöriges Element aus dem Definitionsbereich A finden)

Auch das gilt nicht für ganz $ℝ$

Bijektivität

nachdem die Funktion sowohl injektiv als auch surjektiv ist, ist die Funktion automatisch auch bijektiv