TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 200

Wie viele natürliche Zahlen n mit $1\leq n\leq 10^{4}$ gibt es, die durch 3, 5 und durch 7, aber weder durch 9 und 11 teilbar sind.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von mnemetz

• $A$: Menge aller Zahlen, die durch $3$ und $5$ und $7$ gleichzeitig teilbar sind (entsprechend durch $3\cdot 5\cdot 7=105$ teilbar)
• $B$: Menge aller Zahlen, die durch $9$ teilbar sind
• $C$: Menge aller Zahlen, die durch $11$ teilbar sind

Wir wollen alle Elemente von $A$ aber ohne $B$ und $C$ haben:

$|A|-|A\cap B|-|A\cap C|+|A\cap B\cap C|$

$|A|={\frac {10000}{3\cdot 5\cdot 7}}=95$

$|A\cap B|={\frac {10000}{kgV(3,9,5,7)}}={\frac {10000}{9\cdot 5\cdot 7}}=31$

$|A\cap C|={\frac {10000}{kgV(3,5,7,11)}}={\frac {10000}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 11}}=8$

$|A\cap B\cap C|={\frac {10000}{kgV(3,9,5,7,11)}}={\frac {10000}{9\cdot 5\cdot 7\cdot 11}}=2$

$\Rightarrow 95-31-8+2=58$