TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 218

Bestimmen sie die allgemeine Lösung der Differenzengleichung: $x_{n+1}=(n+1)x_{n}+(n+1)!$

$x_{0}=1$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

Homogene Lösung ausrechnen

$x_{n+1}^{(h)}=(n+1)x_{n}^{(h)}$

$\Rightarrow x_{n}^{(h)}=C*n!$

Partikuläre Lösung

Methode "Variation der Konstanten" (wenn ich mich nicht irre) - wir fassen C als Folge auf:

$x_{n}^{(p)}=C_{n}*n!$

Einsetzen von $x_{n}^{(p)}$ in die Gleichung der Angabe:

$x_{n+1}=(n+1)x_{n}+(n+1)!$

$\Rightarrow C_{n+1}\cdot (n+1)!=(n+1)\cdot C_{n}\cdot n!+(n+1)!$

Kürzen durch $(n+1)!$

$C_{n+1}=C_{n}+1$

$\Rightarrow C_{n}=n+C_{0}$

Da uns nur eine partikuläre Lösung interessiert, können wir $C_{0}$ beliebig wählen. Ich setze $C_{0}:=0$

$\Rightarrow C_{n}=n$

Und jetzt setzen wir für $C_{n}$ aus unserem partikulären Ansatz $n$ ein:

$x_{n}^{(p)}=n*n!$

Allgemeine Lösung

$x_{n}=x_{n}^{(h)}+x_{n}^{(p)}=C\cdot n!+n\cdot n!$

Einsetzen des Anfangswerts

In der Angabe ist $x_{0}=1$ gegeben. Wir müssen das nur in die allgemeine Lösung einsetzen:

$x_{0}=C\cdot 0!+n\cdot n!=C\Rightarrow C=x_{0}=1$

Die Lösung für $x_{0}=1$ ist daher:

$x_{n}=n!+n\cdot n!=n!\cdot (1+n)=(n+1)!$

Lösungsvorschlag mittels Iteration

Bitte beachten, dass bei komplexeren Termen die obere Lösung auf jeden Fall zu bevorzugen ist!

Berechnung von speziellen Lösungen

Anfangsbedigung: $x_{0}=0$

$x_{1}=(0+1)\cdot x_{0}+(0+1)!=x_{0}+1$

> Einsetzen von $x_{1}$ in der Gleichung für $x_{2}$

$x_{2}=(1+1)\cdot (x_{0}+1)+(1+1)!=2*x_{0}+2+2$

$x_{3}=(2+1)\cdot 2\cdot (x_{0}+2)+(2+1)!=6*x_{0}+12+6$

$x_{4}=(3+1)\cdot 6\cdot (x_{0}+3)+(3+1)!=24*x_{0}+72+24$

Erkennen der Lösungsstruktur

Mit Hilfe der vier oben berechneten speziellen Lösungen, versuchen wir nun, die Struktur der Lösung zu erkennen.

$x_{1}={\color {Violet}(1)}*x_{0}+{\color {red}1}$

$x_{2}={\color {Violet}2}*x_{0}+{\color {Green}2}+{\color {red}2}$

$x_{3}={\color {Violet}6}*x_{0}+{\color {Green}12}+{\color {red}6}$

$x_{4}={\color {Violet}24}*x_{0}+{\color {Green}72}+{\color {red}24}$

Die hinterste Zahl (Rot) wird immer von ${\color {red}n!}$ gebildet (Wenn der Index von $x$ nun $n$ entspricht) .

Die Zahl vor dem $x_{0}$ (Violett) ist, wie man sieht, genau dasselbe, also wieder ${\color {Violet}n!}$

Die vielleicht nun am schwiergisten zu erkenende Struktur ist die, welche die Addition der zwei Zahlen ergibt. Die Addition lässt sich hierbei ersetzten durch eine Multiplikation und zwar von der hintersten Zahl (Rot) mit $n$.

z.B.

    $18={\color {Green}12}+{\color {red}6}={\color {red}6}*3$
    $96={\color {Green}72}+{\color {red}24}={\color {red}24}*4$

Damit hätten wir alles, was wir für die Lösung benötigen.

$x_{n}={\color {Violet}n!}*x_{0}+{\color {red}n!}*n$

$x_{n}=n!*(n+x_{0})$

$x_{n}=n!*(n+1)=(n+1)!$