TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 218
Bestimmen sie die allgemeine Lösung der Differenzengleichung:
{{Beispiel|1= Angabetext }}
oder
{{Beispiel| Angabetext }}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1= Angabetext }}
Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Homogene Lösung ausrechnen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Partikuläre Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Methode "Variation der Konstanten" (wenn ich mich nicht irre) - wir fassen C als Folge auf:
Einsetzen von in die Gleichung der Angabe:
Kürzen durch
Da uns nur eine partikuläre Lösung interessiert, können wir beliebig wählen. Ich setze
Und jetzt setzen wir für aus unserem partikulären Ansatz ein:
Allgemeine Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Einsetzen des Anfangswerts[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
In der Angabe ist gegeben. Wir müssen das nur in die allgemeine Lösung einsetzen:
Die Lösung für ist daher:
Lösungsvorschlag mittels Iteration[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Bitte beachten, dass bei komplexeren Termen die obere Lösung auf jeden Fall zu bevorzugen ist!
Berechnung von speziellen Lösungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Anfangsbedigung:
> Einsetzen von in der Gleichung für
Erkennen der Lösungsstruktur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Mit Hilfe der vier oben berechneten speziellen Lösungen, versuchen wir nun, die Struktur der Lösung zu erkennen.
Die hinterste Zahl (Rot) wird immer von gebildet (Wenn der Index von nun entspricht) .
Die Zahl vor dem (Violett) ist, wie man sieht, genau dasselbe, also wieder
Die vielleicht nun am schwiergisten zu erkenende Struktur ist die, welche die Addition der zwei Zahlen ergibt. Die Addition lässt sich hierbei ersetzten durch eine Multiplikation und zwar von der hintersten Zahl (Rot) mit .
z.B.
Damit hätten wir alles, was wir für die Lösung benötigen.