TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 228

Gesucht sind die allgemeinen Lösungen der linearen homogenen Differenzengleichungen

(a) $x_{n+2}+3x_{n+1}+2x_n=0$,

(b) $x_{n+2}-6x_{n+1}+25x_n=0$,

(c) $x_{n+2}+11x_{n+1}+30.25x_n=0$

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oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag von Berti

Gleichung (a)

${\lambda }^2+3\lambda +2=0$

${\lambda }_{1/2}=-\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{9}{4}-2}=-\frac{3}{2}\pm \frac{1}{2}\Rightarrow {\lambda }_1=-1,{\lambda }_2=-2$

Daher ergibt sich als Lösung $x_n=C_1{\lambda }_1^n+C_2{\lambda }_2^n=(-1{)}^n{C}_1+(-2{)}^n{C}_2$

(Lösung mit Hilfe von Wolfram Alpha)

Gleichung (b)

${\lambda }^2-6\lambda +25=0$

${\lambda }_{1/2}=3\pm \sqrt{9-25}=3\pm 4i\Rightarrow {\lambda }_1=3+4i,{\lambda }_2=3-4i$

Nach dem das Ergebnis sich nicht "schön" (Vielfaches von $\pi$, rationale oder ganze Zahl) darstellen lässt, belasse ich es bei der Darstellung in Form von kartesischen Koordinaten:

$x_n=C_1(3+4i{)}^n+C_2(3-4i{)}^n$

(Lösung mit Hilfe von Wolfram Alpha)

Gleichung (c)

${\lambda }^2+11\lambda +30.25=0$

${\lambda }_{1/2}=-\frac{11}{2}\pm \sqrt{\frac{11^2}{4}-30.25}=-\frac{11}{2}$

$x_n=(C_1+n{C}_2)(-5.5{)}^n$

(Lösung mit Hilfe von Wolfram Alpha)

-- Berti933 (Diskussion) 22:42, 20. Jan. 2015 (CET)