TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 233

Berechnen Sie die folgenden Summen durch Aufstellen und Lösen einer Rekursion mittels Ansatzmethode.

$\sum _{i=1}^n{q}^i$

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Lösung von Berti

Zuerst müssen wir die Rekursionsgleichung aufstellen. Dazu überlegen wir uns, wie die ersten paar Elemente aussehen und stellen dann eine allgemeine Gleichung auf:

$x_n=x_{n-1}+q^n,n>=1$

In diesem Fall ist für die Lösung der Gleichung sehr wichtig, dass die Summe bei $1$ beginnt! Der erste Wert ist daher $x_1=q$.

Anschließend berechnen wir die Lösung für die homogene Gleichung:

$x_n^{(h)}=C\cdot {\Pi }_{i=0}^{n-1}{a}_i=C$

Jetzt ist sehr wichtig, dass wir für $C$ noch nicht einsetzen! Das dürfen wir erst machen, wenn wir die komplette Gleichung aufgestellt haben.

Also berechnen wir die partikuläre Lösung mit dem Ansatz $x_n^{(p)}=A\cdot q^n$:

$A\cdot q^n=A\cdot q^{n-1}+q^n$

Die Gleichung lässt sich durch $q^n$ kürzen:

$A=A\cdot q^{-1}+1$

Anschließend formen wir nach $A$ um:

$A-A\cdot q^{-1}=1$

$A\cdot (1-q^{-1})=1$

$A=\frac{1}{1-\frac{1}{q}}=\frac{q}{q-1}$

Deshalb erhalten wir: $x_n^{(p)}=A\cdot q^n=\frac{q}{q-1}\cdot q^n=\frac{q^{n+1}}{q-1}$

Diese Lösung addieren wir zu unserer homogenen Lösung, womit wir schon beinahe fertig sind:

$x_n=\frac{q^{n+1}}{q-1}+C$

Jetzt müssen wir uns nur noch $C$ berechnen:

$x_1=q=\frac{q^{n+1}}{q-1}+C=\frac{q^2}{q-1}+C$

$C=q-\frac{q^2}{q-1}$

$C=\frac{q\cdot (q-1)-q^2}{q-1}$

$C=-\frac{q}{q-1}$

Daher ist $x_n=\frac{q^{n+1}}{q-1}-\frac{q}{q-1}=\frac{q\cdot (q^n-1)}{q-1}$.

(Lösung mit Hilfe von Wolfram Alpha)

-- Berti933 (Diskussion) 10:35, 21. Jan. 2015 (CET)