TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 238
Lösen Sie die Rekursion mit der Ansatzmethode:
{{Beispiel|1= Angabetext }}
oder
{{Beispiel| Angabetext }}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1= Angabetext }}
Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Lösungsvorschlag von Liiooo[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Homogene Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Zuerst müssen wir die homogene Lösung der Differenzengleichung berechnen. Dazu verwenden wir folgende Formel: In unserem Fall sieht das dann so aus:
Partikulär Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Da es sich um eine inhomogene Differenzengleichung handelt müssen wir noch die partikuläre Lösung berechnen. Dazu verwenden wir die Ansatzmethode mit Superpositionsprinzip (Satz 7.21).
Störterm 1: Ansatz:
Störterm 2: Ansatz: Weil dieser Ansatz bereits ein Teil der homogen Lösung ist müssen wir ihn noch mit multiplizieren (Resonanzfall):
Berechnen von [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Dazu setzen wir unseren Ansatz in die Angabe ein und lösen nach A auf. Dabei beachten wir, dass nur die erste Störfunktion verwendet wird.
Berechnen von [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Hier setzen wir wieder in die Angabe ein und berechnen mit dem Koeffizientenvergleich die Werte von A und B. Hier verwenden wir nur die zweite Störfunktion aus der Angabe.
Allgemeine Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Einsetzen von: [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]