TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 238

Lösen Sie die Rekursion mit der Ansatzmethode: $a_{n}=5a_{n-1}+2^{n-1}-6n5^{n}\quad (n\geq 1),\quad a_{0}=2$

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Lösungsvorschlag von Liiooo

Homogene Lösung

Zuerst müssen wir die homogene Lösung der Differenzengleichung berechnen. Dazu verwenden wir folgende Formel: $x_{n}^{(h)}=C*\prod _{i=0}^{n-1}a_{i}$ In unserem Fall sieht das dann so aus:

$a_{n}^{(h)}=C*\prod _{i=0}^{n-1}5=C*5^{n-1}$

Partikulär Lösung

Da es sich um eine inhomogene Differenzengleichung handelt müssen wir noch die partikuläre Lösung berechnen. Dazu verwenden wir die Ansatzmethode mit Superpositionsprinzip (Satz 7.21).

Störterm 1: $s_{1}(n)=2^{n-1}$ Ansatz: $A2^{n-1}$

Störterm 2: $s_{2}(n)=6n5^{n}$ Ansatz: $(A+Bn)5^{n}$ Weil dieser Ansatz bereits ein Teil der homogen Lösung ist müssen wir ihn noch mit $n$ multiplizieren (Resonanzfall): $(A+Bn)5^{n}*n$

Berechnen von $a_{n}^{(p_{1})}$

Dazu setzen wir unseren Ansatz in die Angabe ein und lösen nach A auf. Dabei beachten wir, dass nur die erste Störfunktion verwendet wird.

$a_{n}^{(p_{1})}:{\begin{aligned}A*2^{n-1}&=5*A*2^{n-1}+2^{n-1}\quad |:2^{n+1}\\A&={\frac {5A}{2}}+1\quad |*2\\2A&=5A+2\\\Rightarrow A&=-{\frac {2}{3}}\\\\\Rightarrow a_{n}^{(p_{1})}=-{\frac {2^{n}}{3}}\end{aligned}}$

Berechnen von $a_{n}^{(p_{2})}$

Hier setzen wir wieder in die Angabe ein und berechnen mit dem Koeffizientenvergleich die Werte von A und B. Hier verwenden wir nur die zweite Störfunktion aus der Angabe.

Allgemeine Lösung

$a_{n}=a_{n}^{(h)}+a_{n}^{(p_{1})}+a_{n}^{(p_{2})}=C*5^{n-1}-{\frac {2^{n}}{3}}-(-3-3n)5^{n}n=C*5^{n-1}-{\frac {2^{n}}{3}}-(3+3n)5^{n}n$

Einsetzen von: $a_{0}=2$

${\begin{aligned}2&={\frac {C}{5}}-{\frac {1}{3}}\\{\frac {7}{3}}&={\frac {C}{5}}\\\Rightarrow C&={\frac {35}{3}}\\\end{aligned}}$

$\Rightarrow {\frac {35}{3}}*5^{n-1}-{\frac {2^{n}}{3}}-(3+3n)5^{n}n$