TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 266
Lösen Sie die Rekursion
{{Beispiel|1= Angabetext }}
oder
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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1= Angabetext }}
Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ein bisschen Herumexperimentieren mit den ersten paar Termen , , usw., lässt einen den folgenden Ansatz wagen:
Aus den Anfangswerten und folgt , und , .
Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung und ein Koeffizientenvergleich liefert sofort die Gleichungen
Dies sind die Rekursionsrelationen der Fibonacci-Folge. Aber aufgepasst: Die Anfangswerte sind nur für die Folge gleich der der Fibonacci-Folge.
Allerdings kann man durch einen Index-Shift auch für eine Lösung finden. Man erhält:
Wobei die Terme der Fibonacci-Folge sind.
Zusammengefasst erhält man also als Lösung der Gleichung:
für beliebige und .
Eine interessante Frage ist, ob das die allgemeine Lösung ist.