TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 266

Lösen Sie die Rekursion $a_{n+1}=a_{n}a_{n-1}\quad (n\geq 1),\ a_{0}=1,a_{1}=2.$

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Lösungsvorschlag

Ein bisschen Herumexperimentieren mit den ersten paar Termen ${\textstyle a_{2}}$, ${\textstyle a_{3}}$, usw., lässt einen den folgenden Ansatz wagen:

$$a_{n}=a_{0}^{\alpha _{n}}a_{1}^{\beta _{n}}$$

Aus den Anfangswerten ${\textstyle a_{0}}$ und ${\textstyle a_{1}}$ folgt ${\textstyle \alpha _{0}=1}$, ${\textstyle \alpha _{1}=0}$ und ${\textstyle \beta _{0}=0}$, ${\textstyle \beta _{1}=1}$.

Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung und ein Koeffizientenvergleich liefert sofort die Gleichungen

$$\alpha _{n+1}=\alpha _{n}+\alpha _{n-1}$$

$$\beta _{n+1}=\beta _{n}+\beta _{n-1}$$

Dies sind die Rekursionsrelationen der Fibonacci-Folge. Aber aufgepasst: Die Anfangswerte sind nur für die Folge ${\textstyle \beta _{n}}$ gleich der der Fibonacci-Folge.

Allerdings kann man durch einen Index-Shift auch für ${\textstyle \alpha _{n}}$ eine Lösung finden. Man erhält:

$$\alpha _{n}={\begin{cases}1&n=0\\F_{n-1}&sonst\end{cases}}$$

$$\beta _{n}=F_{n}$$

Wobei ${\textstyle F_{n}}$ die Terme der Fibonacci-Folge sind.

Zusammengefasst erhält man also als Lösung der Gleichung:

$$a_{n}=a_{0}^{F_{n-1}}a_{1}^{F_{n}},\quad n\geq 2$$

für beliebige ${\textstyle a_{0}}$ und ${\textstyle a_{1}}$.

Eine interessante Frage ist, ob das die allgemeine Lösung ist.