TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 33

Man bestimme rechnerisch (ohne Taschenrechner) und graphisch Summe und Produkt der komplexen Zahlen $z_{1}=3-4i$ und ${\textstyle z_{2}=[2,{\frac {\pi }{2}}]}$.

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Hilfreiches

Addition komplex

Addition komplex

Addition von komplexen Zahlen in kartesischer Darstellung:

$(a+{\mathsf {i}}b)+(c+{\mathsf {i}}d)=(a+c)+{\mathsf {i}}(b+d)$

Multiplikation komplex

Multiplikation komplex

Multiplikation von komplexen Zahlen in Polar-Darstellung:

$[r_{1},\varphi _{1}]\cdot [r_{2},\varphi _{2}]=[r_{1}\cdot r_{2},\varphi _{1}+\varphi _{2}]$

$\Rightarrow$ Division in Polar-Darstellung:

${\frac {[r_{1},\varphi _{1}]}{[r_{2},\varphi _{2}]}}=[r_{1}/r_{2},\varphi _{1}-\varphi _{2}]$

Lösungsvorschlag

${\textstyle z_{2}=[2,{\frac {\pi }{2}}]}$ entspricht $2i$ (da der Radius $r=2$ und der Winkel ${\textstyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}$ ist $\longrightarrow$ nur auf imaginärer Achse, kein Realteil.)

${\begin{aligned}z_{1}+z_{2}&=(3-4i)+2i=3-2i\\z_{1}\cdot z_{2}&=(3-4i)\cdot 2i=6i-8i^{2}=6i-(-8)=8+6i\end{aligned}}$

Graphisch entspricht die Addition zweier komplexen Zahlen einfach einer Vektoraddition und die Multiplikation einer Dreh-Streckung. Also der neue Winkel ist die Summe beider Winkel und die Länge r bildet sich aus dem Produkt beider Längen.