TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 331

Gegeben seien die folgenden Permutationen der $S_{8}:$ $\pi =(13746)$, $\rho =(143652)$ und $\sigma =\left({\begin{array}{cccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8\\1&4&5&2&3&7&6&8\end{array}}\right)$

Berechnen Sie $\pi \rho ^{-1}\sigma ^{2}$ und $\pi ^{2}\rho \sigma ^{-2}$ sowie deren Zyklendarstellungen und Vorzeichen.

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Lösungsvorschlag

$\pi =(13746)$

$\rho =(143652)$

$\sigma =(24)(35)(67)$

$\rho ^{-1}=(125634)$

$\sigma ^{2}=(1)=id$

$\pi \rho ^{-1}\sigma ^{2}=(13746)(125634)(1)=(13746)(125634)=(125)(6743)$

$\pi ^{2}=(13746)(13746)=(17634)$

$\sigma ^{-1}=(42)(53)(76)$

$\sigma ^{2}\sigma ^{-2}=id$ daraus folgt, dass: $\sigma ^{-2}=id$

$\pi ^{2}\rho \sigma ^{-2}=(17634)(143652)=(6527)$

Vorzeichen:

Das Vorzeichen einer Permutation ist +1, wenn die Anzahl der Fehlstände gerade ist und -1 wenn die Anzahl der Fehlstände ungerade ist. <br\>Ein Fehlstand ist ein Paar (i, j) mit i > j und $\pi (i)<\pi (j)$.

$sign(\pi \rho ^{-1}\sigma ^{2})=-1$

$sign(\pi ^{2}\rho \sigma ^{-2})=-1$