TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 333

Gegeben seien die folgenden Permutationen der $S_8:$ $\pi =(13746)$, $\rho =(143652)$ und $\sigma =\left(\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ 1& 4& 5& 2& 3& 7& 6& 8\end{array}\right)$

Berechnen Sie $\pi {\rho }^{-1}{\sigma }^2$ und ${\pi }^2\rho {\sigma }^{-2}$ sowie deren Zyklendarstellungen und Vorzeichen.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

$\pi =(13746)$

$\rho =(143652)$

$\sigma =(24)(35)(67)$

${\rho }^{-1}=(125634)$

${\sigma }^2=(1)=id$

$\pi {\rho }^{-1}{\sigma }^2=(13746)(125634)(1)=(13746)(125634)=(125)(6743)$

${\pi }^2=(13746)(13746)=(17634)$

${\sigma }^{-1}=(42)(53)(76)$

${\sigma }^2{\sigma }^{-2}=id$ daraus folgt, dass: ${\sigma }^{-2}=id$

${\pi }^2\rho {\sigma }^{-2}=(17634)(143652)=(6527)$

Vorzeichen:

Das Vorzeichen einer Permutation ist +1, wenn die Anzahl der Fehlstände gerade ist und -1 wenn die Anzahl der Fehlstände ungerade ist. <br\>Ein Fehlstand ist ein Paar (i, j) mit i > j und $\pi (i)<\pi (j)$.

$sign(\pi {\rho }^{-1}{\sigma }^2)=-1$

$sign({\pi }^2\rho {\sigma }^{-2})=-1$