TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 346

Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation $\circ$ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist.

$M={\mathfrak {P}}(A)$, d.h. die Potenzmenge der Menge A, $B\circ C=B\cup C$

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Hilfreiches

Gruppeneigenschaften

Gruppeneigenschaften

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

1. Abgeschlossenheit: für $a,b\in G$ ist $a\circ b\in G$ (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das $\circ$ entspricht einer Funktion $\circ :G\times G\rightarrow G$
2. Assoziativgesetz: $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$ für alle $a,b,c\in G$.
3. Einheitselement: Es existiert ein $e\in G$, so dass für alle $a\in G$ gilt: $a\circ e=e\circ a=a$.
4. Inverses Element: Für jedes $a\in G$ gibt es ein inverses Element $a'\in G$ (oder auch $a^{-1}$) so, dass gilt $a\circ a'=a'\circ a=e$. Wobei das e das Einheitselement ist.
5. Kommutativgesetz: $a\circ b=b\circ a$ für alle $a,b\in G$.

Nr.	Gruppoid	Halbgruppe	Monoid	Gruppe	Abelsche Gruppe
1	✓	✓	✓	✓	✓
2		✓	✓	✓	✓
3			✓	✓	✓
4				✓	✓
5					✓

Lösungsvorschlag von mnemetz

Basierend auf f.thread:37701

Abgeschlossenheit: Wenn gilt, dass $B,C\in {\mathfrak {P}}(A)$, folgt daraus, dass auch $B\cup C\in {\mathfrak {P}}(A)$. Abgeschlossenheit ist gegeben.

Assoziativität: Es muss gelten: $B\cup (C\cup D)=(B\cup C)\cup D$ für alle $B,C,D\in {\mathfrak {P}}(A)$. Dies ist wahr.

Existenz eines neutralen Elements e: es muss gelten $B\cup e=e\cup B=B\qquad \forall B\in {\mathfrak {P}}(A)$. $e=\varnothing$(leere Menge). Dies ist wahr.

Existenz eines inversen Elements B' es muss gelten $B\cup B'=B'\cup B=e\qquad \forall B\in {\mathfrak {P}}(A)$. Aber $B\cup B'=B'\cup B\neq \varnothing$. Es existiert kein inverses Element B´.

Es liegt ein Monoid vor.