Kategorie:Gruppeneigenschaften

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

1. Abgeschlossenheit: für ${\displaystyle a,b\in G}$ ist ${\displaystyle a\circ b\in G}$ (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das ${\displaystyle \circ }$ entspricht einer Funktion ${\displaystyle \circ :G\times G\to G}$
2. Assoziativgesetz: ${\displaystyle a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c}$ für alle ${\displaystyle a,b,c\in G}$.
3. Einheitselement (bzw. Neutrales Element): Es existiert ein ${\displaystyle e\in G}$, so dass für alle ${\displaystyle a\in G}$ gilt: ${\displaystyle a\circ e=e\circ a=a}$.
4. Inverses Element: Für jedes ${\displaystyle a\in G}$ gibt es ein inverses Element ${\displaystyle a^{\prime }\in G}$ (oder auch ${\displaystyle a^{-1}}$) so, dass gilt ${\displaystyle a\circ a^{\prime }=a^{\prime }\circ a=e}$. Wobei das e das Einheitselement ist.
5. Kommutativgesetz: ${\displaystyle a\circ b=b\circ a}$ für alle ${\displaystyle a,b\in G}$.