TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 367

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Sei G die Menge aller regulären Matrizen A über . Man zeige, dass eine Gruppe bildet.

Hilfreiches[edit]

Gruppe
Gruppe[edit]

Eine Gruppe ist

  • abgeschlossen bzgl. der Operation in G,
  • assoziativ: ,
  • beinhaltet ein neutrales Element :
  • sowie inverse Elemente: .
Gruppeneigenschaften
Gruppeneigenschaften[edit]

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

  1. Abgeschlossenheit: für ist (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das entspricht einer Funktion
  2. Assoziativgesetz: für alle .
  3. Einheitselement: Es existiert ein , so dass für alle gilt: .
  4. Inverses Element: Für jedes gibt es ein inverses Element (oder auch ) so, dass gilt . Wobei das e das Einheitselement ist.
  5. Kommutativgesetz: für alle .
Nr. Gruppoid Halbgruppe Monoid Gruppe Abelsche Gruppe
1
2
3
4
5

Theoretische Grundlagen (Zusammenfassung von mnemetz)[edit]

Reguläre Matrix[edit]

Eine Matirx A heißt invertierbar, wenn es eine Matrix B gibt mit (wobei die Einheitsmatrix ist)

Anders gesagt: Reguläre Matrizen sind invertierbare Matrizen - somit existiert das inverse Element.

Gegenteil ist natürlich singuläre Matrizen - bilden nur ein Monoid!

Reguläre Matrizen haben noch eine weitere Eigenschaft die bei dem Beispiel hilfreich ist, und zwar:

Matrix A ist regulär

Damit kann man die Menge G aus der Angabe auch wie folgt beschreiben:

Lösungsvorschlag von mnemetz[edit]

Abgeschlossenheit[edit]

Begründung der gegebenen Abgeschlossenheit: Bei der Multiplikation von Matrizen die über stehen, werden nur die Operationen ausgeführt, daher abgeschlossen.

Einfacher: Es ergibt sich wieder eine Matrix!

Es reicht aber noch nicht zu zeigen, dass sich wieder eine Matrix ergibt! Die neue Matrix muss auch wieder regulär sein.

Und hier hilft uns die Rechenregeln der Determinanten:

nachdem die Determinanten sowohl von A also auch B sind, muss auch das Ergebnis sein.

das Ergebnis ist wieder eine reguläre Matrix, wodurch gezeigt ist, dass die Gruppe abgeschlossen ist.

Assoziativität[edit]

Seien gegeben:

Untersuche

Untersuche


EDIT peter1058: ACHTUNG dieses Beispiel ist leider nicht ganz richtig, da A = E (Einheitsmatrix). Es werden also statt 3 verschiedenen Matrizen lediglich nur 2 (B, C) miteinander multipliziert!

Zusatz von Unbekannt: Es ist generell nicht klug etwas durch ein Beispiel beweisen zu wollen. Durch ein Beispiel kann man bestenfalls zeigen, dass etwas nicht der Fall ist, außer man rechnet einen allgemeinen Fall durch.

Um also zu zeigen dass die Multiplikation Assoziativ ist, muss man die allgemeine Definition der Matrixmultiplikation bemühen:

allgemein:

<br\> <br\>

Und das jetzt auf unseren Fall angewendet:


<br\> <br\> <br\> <br\> <br\>

Daraus sieht man, dass es egal ist, wie man die Klammern setzt. Die einzelnen Elemente des Ergebnisses bleiben die gleichen.

Neutrales Element[edit]

Neutrales Element in Gestalt der Einheitsmatrix gegeben.

Nachdem das neutrale Element immer auch invertierbar ist, muss es auch in der Gruppe vorhanden sein, weil die Gruppe lt. Definition alle invertierbaren (= regulären) Matrizen inkludiert.

Inverses Element[edit]

Inverses Element existiert. Das folgt schon aus der Definition der Gruppe G.

Schlussfolgerung[edit]

Es liegt eine Gruppe vor!