TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 367

Sei G die Menge aller regulären $n\times n$ Matrizen A über $\mathbb {R}$. Man zeige, dass $\langle G,\cdot \rangle$ eine Gruppe bildet.

Hilfreiches

Gruppe

Gruppe

Eine Gruppe $(G,\circ )$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in G,
• assoziativ: $\forall a,b,c\in G:\quad a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$,
• beinhaltet ein neutrales Element $e$: $\quad \forall a:\quad a\circ e=a$
• sowie inverse Elemente: $\forall a\quad \exists a^{-1}:\quad a\circ a^{-1}=e$.

Gruppeneigenschaften

Gruppeneigenschaften

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

1. Abgeschlossenheit: für $a,b\in G$ ist $a\circ b\in G$ (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das $\circ$ entspricht einer Funktion $\circ :G\times G\rightarrow G$
2. Assoziativgesetz: $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$ für alle $a,b,c\in G$.
3. Einheitselement: Es existiert ein $e\in G$, so dass für alle $a\in G$ gilt: $a\circ e=e\circ a=a$.
4. Inverses Element: Für jedes $a\in G$ gibt es ein inverses Element $a'\in G$ (oder auch $a^{-1}$) so, dass gilt $a\circ a'=a'\circ a=e$. Wobei das e das Einheitselement ist.
5. Kommutativgesetz: $a\circ b=b\circ a$ für alle $a,b\in G$.

Nr.	Gruppoid	Halbgruppe	Monoid	Gruppe	Abelsche Gruppe
1	✓	✓	✓	✓	✓
2		✓	✓	✓	✓
3			✓	✓	✓
4				✓	✓
5					✓

Theoretische Grundlagen (Zusammenfassung von mnemetz)

Reguläre Matrix

Eine $n\times n$ Matirx A heißt invertierbar, wenn es eine $n\times n$ Matrix B gibt mit $A\cdot B=B\cdot A=I_{n}$ (wobei $I_{n}$ die Einheitsmatrix ist)

Anders gesagt: Reguläre Matrizen sind invertierbare Matrizen - somit existiert das inverse Element.

Gegenteil ist natürlich singuläre Matrizen - bilden nur ein Monoid!

Reguläre Matrizen haben noch eine weitere Eigenschaft die bei dem Beispiel hilfreich ist, und zwar:

Matrix A ist regulär $\Leftrightarrow det(A)\neq 0$

Damit kann man die Menge G aus der Angabe auch wie folgt beschreiben:

$G=\{A\in \mathbb {R} ^{n\times n}|det(A)\neq 0\}$

Lösungsvorschlag von mnemetz

Abgeschlossenheit

$\forall A_{1},A_{2}{\text{ ueber }}\mathbb {R} :A_{1}\cdot A_{2}=A_{3}\rightarrow A_{3}{\text{ ueber }}\mathbb {R}$

Begründung der gegebenen Abgeschlossenheit: Bei der Multiplikation von Matrizen die über $\mathbb {R}$ stehen, werden nur die Operationen $+,\cdot$ ausgeführt, daher abgeschlossen.

Einfacher: Es ergibt sich wieder eine $n\times n$ Matrix!

Es reicht aber noch nicht zu zeigen, dass sich wieder eine $n\times n$ Matrix ergibt! Die neue Matrix muss auch wieder regulär sein.

Und hier hilft uns die Rechenregeln der Determinanten:

$det(A\cdot B)=det(A)\cdot det(B)$

nachdem die Determinanten sowohl von A also auch B $\neq 0$ sind, muss auch das Ergebnis $\neq 0$ sein.

$\Rightarrow$ das Ergebnis ist wieder eine reguläre Matrix, wodurch gezeigt ist, dass die Gruppe abgeschlossen ist.

Assoziativität

Seien gegeben: $A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},C={\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}}$

Untersuche $A\cdot (B\cdot C)$

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\cdot ({\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&2\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&2\\0&1\end{pmatrix}}$

Untersuche $(A\cdot B)\cdot C$

$({\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}})\cdot {\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&2\\0&1\end{pmatrix}}$

EDIT peter1058: ACHTUNG dieses Beispiel ist leider nicht ganz richtig, da A = E (Einheitsmatrix). Es werden also statt 3 verschiedenen Matrizen lediglich nur 2 (B, C) miteinander multipliziert!

Zusatz von Unbekannt: Es ist generell nicht klug etwas durch ein Beispiel beweisen zu wollen. Durch ein Beispiel kann man bestenfalls zeigen, dass etwas nicht der Fall ist, außer man rechnet einen allgemeinen Fall durch.

Um also zu zeigen dass die Multiplikation Assoziativ ist, muss man die allgemeine Definition der Matrixmultiplikation bemühen:

allgemein:

$A=(a_{ij})\in \mathbb {R} ^{n\times m},B=(b_{jk})\in \mathbb {R} ^{m\times q}$<br\> $c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}{a_{ij}\cdot b_{jk}}$<br\>

Und das jetzt auf unseren Fall angewendet:

$(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)\qquad \qquad A=(a_{ij})\in \mathbb {R} ^{n\times n},B=(b_{jk})\in \mathbb {R} ^{n\times n},C=(c_{kl})\in \mathbb {R} ^{n\times n}$<br\> $(A\cdot B):\quad ab_{ik}=\sum _{j=1}^{n}{a_{ij}\cdot b_{jk}}$<br\> $(A\cdot B)\cdot C:\quad abc_{il}=\sum _{k=1}^{n}{ab_{ik}\cdot c_{kl}}=\sum _{k=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{n}{a_{ij}\cdot b_{jk}}\right)\cdot c_{kl}}=\sum _{k=1}^{n}{\sum _{j=1}^{n}{a_{ij}\cdot b_{jk}\cdot c_{kl}}}$<br\> $(B\cdot C):\quad bc_{jl}=\sum _{k=1}^{n}{b_{jk}\cdot c_{kl}}$<br\> $A\cdot (B\cdot C):\quad abc_{il}=\sum _{j=1}^{n}{a_{ij}\cdot bc_{jl}}=\sum _{j=1}^{n}{a_{ij}\cdot \left(\sum _{k=1}^{n}{b_{jk}\cdot c_{kl}}\right)}=\sum _{j=1}^{n}{\sum _{k=1}^{n}{a_{ij}\cdot b_{jk}\cdot c_{kl}}}$<br\>

Daraus sieht man, dass es egal ist, wie man die Klammern setzt. Die einzelnen Elemente des Ergebnisses bleiben die gleichen.

Neutrales Element

$\exists I_{n}\forall A_{n}:I_{n}\cdot A_{n}=A_{n}\cdot I_{n}=A_{n}$

Neutrales Element in Gestalt der Einheitsmatrix gegeben.

Nachdem das neutrale Element immer auch invertierbar ist, muss es auch in der Gruppe vorhanden sein, weil die Gruppe lt. Definition alle invertierbaren (= regulären) Matrizen inkludiert.

Inverses Element

$\exists A_{n}^{-1}\forall A_{n}:A_{n}^{-1}\cdot A_{n}=A_{n}\cdot A_{n}^{-1}=I_{n}$

Inverses Element existiert. Das folgt schon aus der Definition der Gruppe G.

Schlussfolgerung

Es liegt eine Gruppe vor!