TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 367

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Sei G die Menge aller regulären n \times n Matrizen A über \mathbb{R}. Man zeige, dass \langle G, \cdot\rangle eine Gruppe bildet.

Hilfreiches[edit]

Gruppe
Gruppe[edit]

Eine Gruppe (G, \circ) ist

  • abgeschlossen bzgl. der Operation \circ in G,
  • assoziativ: \forall a,b,c\in G:\quad a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c,
  • beinhaltet ein neutrales Element e: \quad\forall a:\quad a\circ e=a
  • sowie inverse Elemente: \forall a\quad\exists a^{-1}:\quad a\circ a^{-1}=e.
Gruppeneigenschaften
Gruppeneigenschaften[edit]

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

  1. Abgeschlossenheit: für a,b \in G ist a \circ b \in G (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das \circ entspricht einer Funktion  \circ: G \times G \rightarrow G
  2. Assoziativgesetz: a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c für alle a,b,c \in G.
  3. Einheitselement: Es existiert ein e \in G, so dass für alle a \in G gilt: a \circ e = e \circ a = a.
  4. Inverses Element: Für jedes a \in G gibt es ein inverses Element a' \in G (oder auch a^{-1}) so, dass gilt a \circ a' = a' \circ  a = e. Wobei das e das Einheitselement ist.
  5. Kommutativgesetz: a \circ b = b \circ a für alle a,b \in G.
Nr. Gruppoid Halbgruppe Monoid Gruppe Abelsche Gruppe
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2
3
4
5

Theoretische Grundlagen (Zusammenfassung von mnemetz)[edit]

Reguläre Matrix[edit]

Eine n \times n Matirx A heißt invertierbar, wenn es eine n \times n Matrix B gibt mit A \cdot B = B \cdot A = I_n (wobei I_n die Einheitsmatrix ist)

Anders gesagt: Reguläre Matrizen sind invertierbare Matrizen - somit existiert das inverse Element.

Gegenteil ist natürlich singuläre Matrizen - bilden nur ein Monoid!

Reguläre Matrizen haben noch eine weitere Eigenschaft die bei dem Beispiel hilfreich ist, und zwar:

Matrix A ist regulär \Leftrightarrow det(A) \ne 0

Damit kann man die Menge G aus der Angabe auch wie folgt beschreiben:

G = \{ A \in \mathbb R ^{n \times n}| det(A) \ne 0 \}

Lösungsvorschlag von mnemetz[edit]

Abgeschlossenheit[edit]

\forall A_1, A_2 \text{ ueber } \mathbb{R}: A_1 \cdot A_2 = A_3 \rightarrow A_3 \text{ ueber } \mathbb{R}

Begründung der gegebenen Abgeschlossenheit: Bei der Multiplikation von Matrizen die über \mathbb{R} stehen, werden nur die Operationen +,\cdot ausgeführt, daher abgeschlossen.

Einfacher: Es ergibt sich wieder eine n \times n Matrix!

Es reicht aber noch nicht zu zeigen, dass sich wieder eine n \times n Matrix ergibt! Die neue Matrix muss auch wieder regulär sein.

Und hier hilft uns die Rechenregeln der Determinanten:

det(A \cdot B) = det(A) \cdot det(B)

nachdem die Determinanten sowohl von A also auch B \ne 0 sind, muss auch das Ergebnis \ne 0 sein.

\Rightarrow das Ergebnis ist wieder eine reguläre Matrix, wodurch gezeigt ist, dass die Gruppe abgeschlossen ist.

Assoziativität[edit]

Seien gegeben: A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Untersuche A \cdot (B \cdot C)

\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot (\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Untersuche (A \cdot B) \cdot C

(\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}


EDIT peter1058: ACHTUNG dieses Beispiel ist leider nicht ganz richtig, da A = E (Einheitsmatrix). Es werden also statt 3 verschiedenen Matrizen lediglich nur 2 (B, C) miteinander multipliziert!

Zusatz von Unbekannt: Es ist generell nicht klug etwas durch ein Beispiel beweisen zu wollen. Durch ein Beispiel kann man bestenfalls zeigen, dass etwas nicht der Fall ist, außer man rechnet einen allgemeinen Fall durch.

Um also zu zeigen dass die Multiplikation Assoziativ ist, muss man die allgemeine Definition der Matrixmultiplikation bemühen:

allgemein:

A = (a_{ij})\in \mathbb R^{n \times m}, B = (b_{jk}) \in \mathbb R^{m \times q}<br\> c_{ik} = \sum_{j=1}^{n}{a_{ij} \cdot b_{jk}}<br\>

Und das jetzt auf unseren Fall angewendet:


(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C) \qquad \qquad A = (a_{ij})\in \mathbb R^{n \times n}, B = (b_{jk}) \in \mathbb R^{n \times n}, C = (c_{kl}) \in \mathbb R^{n \times n}<br\> (A \cdot B) : \quad ab_{ik} = \sum_{j=1}^{n}{a_{ij} \cdot b_{jk}}<br\> (A \cdot B) \cdot C : \quad abc_{il} = \sum_{k=1}^{n}{ab_{ik} \cdot c_{kl}} = \sum_{k=1}^{n}{\left( \sum_{j=1}^{n}{a_{ij} \cdot b_{jk} }\right) \cdot c_{kl}}  = \sum_{k=1}^{n}{ \sum_{j=1}^{n}{a_{ij} \cdot b_{jk} \cdot c_{kl}} }<br\> (B \cdot C) : \quad bc_{jl} = \sum_{k=1}^{n}{b_{jk} \cdot c_{kl}}<br\> A \cdot (B \cdot C) : \quad abc_{il} = \sum_{j=1}^{n}{a_{ij} \cdot bc_{jl}} = \sum_{j=1}^{n}{a_{ij} \cdot \left( \sum_{k=1}^{n}{b_{jk} \cdot c_{kl}} \right)} = \sum_{j=1}^{n}{ \sum_{k=1}^{n}{a_{ij} \cdot b_{jk} \cdot c_{kl}} }<br\>

Daraus sieht man, dass es egal ist, wie man die Klammern setzt. Die einzelnen Elemente des Ergebnisses bleiben die gleichen.

Neutrales Element[edit]

 \exists I_n \forall A_n: I_n \cdot A_n = A_n \cdot I_n = A_n

Neutrales Element in Gestalt der Einheitsmatrix gegeben.

Nachdem das neutrale Element immer auch invertierbar ist, muss es auch in der Gruppe vorhanden sein, weil die Gruppe lt. Definition alle invertierbaren (= regulären) Matrizen inkludiert.

Inverses Element[edit]

 \exists A_n^{-1} \forall A_n: A_n^{-1} \cdot A_n = A_n \cdot A_n^{-1} = I_n

Inverses Element existiert. Das folgt schon aus der Definition der Gruppe G.

Schlussfolgerung[edit]

Es liegt eine Gruppe vor!