TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 230

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Angabe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist.


Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gruppeneigenschaften
Gruppeneigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

  1. Abgeschlossenheit: für ist (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das entspricht einer Funktion
  2. Assoziativgesetz: für alle .
  3. Einheitselement: Es existiert ein , so dass für alle gilt: .
  4. Inverses Element: Für jedes gibt es ein inverses Element (oder auch ) so, dass gilt . Wobei das e das Einheitselement ist.
  5. Kommutativgesetz: für alle .
Nr. Gruppoid Halbgruppe Monoid Gruppe Abelsche Gruppe
1
2
3
4
5

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Entnommen aus f.thread:37703 .

Abgeschlossenheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn , muss auch gelten: , daraus folgt . Ist erfüllt.


Zum Beweis der Abgeschlossenheit kann man wie folgt vorgehen: Da kann man schreiben:

Jetzt einsetzen:

Und das ist wieder

Abgeschlossenheit ist somit gegeben.

Assoziativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ees muss gelten: für alle .

  • Linke Seite:
  • Rechte Seite:

Wenn man die beiden Seiten gleichsetzt, erhält man:

Widerspruch. Assoziativität ist nicht gegeben.

Schlussfolgerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es liegt ein Gruppoid vor.