TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 230
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Angabe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist.
Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Gruppeneigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen
Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.
Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:
- Abgeschlossenheit: für ist (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das entspricht einer Funktion
- Assoziativgesetz: für alle .
- Einheitselement: Es existiert ein , so dass für alle gilt: .
- Inverses Element: Für jedes gibt es ein inverses Element (oder auch ) so, dass gilt . Wobei das e das Einheitselement ist.
- Kommutativgesetz: für alle .
Nr. | Gruppoid | Halbgruppe | Monoid | Gruppe | Abelsche Gruppe |
---|---|---|---|---|---|
1 | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
2 | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | |
3 | ✓ | ✓ | ✓ | ||
4 | ✓ | ✓ | |||
5 | ✓ |
Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Entnommen aus f.thread:37703 .
Abgeschlossenheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wenn , muss auch gelten: , daraus folgt . Ist erfüllt.
Zum Beweis der Abgeschlossenheit kann man wie folgt vorgehen: Da kann man schreiben:
Jetzt einsetzen:
Und das ist wieder
Abgeschlossenheit ist somit gegeben.
Assoziativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ees muss gelten: für alle .
- Linke Seite:
- Rechte Seite:
Wenn man die beiden Seiten gleichsetzt, erhält man:
Widerspruch. Assoziativität ist nicht gegeben.
Schlussfolgerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es liegt ein Gruppoid vor.