TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 225

Angabe

Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation $\circ$ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist.

$M={\mathfrak {P}}(A)$, d.h. die Potenzmenge der Menge A, $B\circ C=B\cap C$

Hilfreiches

Gruppeneigenschaften

Gruppeneigenschaften

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

1. Abgeschlossenheit: für $a,b\in G$ ist $a\circ b\in G$ (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das $\circ$ entspricht einer Funktion $\circ :G\times G\rightarrow G$
2. Assoziativgesetz: $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$ für alle $a,b,c\in G$.
3. Einheitselement: Es existiert ein $e\in G$, so dass für alle $a\in G$ gilt: $a\circ e=e\circ a=a$.
4. Inverses Element: Für jedes $a\in G$ gibt es ein inverses Element $a'\in G$ (oder auch $a^{-1}$) so, dass gilt $a\circ a'=a'\circ a=e$. Wobei das e das Einheitselement ist.
5. Kommutativgesetz: $a\circ b=b\circ a$ für alle $a,b\in G$.

Nr.	Gruppoid	Halbgruppe	Monoid	Gruppe	Abelsche Gruppe
1	✓	✓	✓	✓	✓
2		✓	✓	✓	✓
3			✓	✓	✓
4				✓	✓
5					✓

Lösungsvorschlag von mnemetz

Basierend auf f.thread:37701

Abgeschlossenheit: Wenn gilt, dass $B,C\in {\mathfrak {P}}(A)$, folgt daraus, dass auch $B\cap C\in {\mathfrak {P}}(A)$. Abgeschlossenheit ist gegeben.

Assoziativität: Es muss gelten: $(B\cap C)\cap D)=(B\cap C)\cap D$ für alle $B,C,D\in {\mathfrak {P}}(A)$. Dies ist wahr, wie die folgenden Venn-Diagramme für beide Sachverhalte $(B\cap C)\cap D=B\cap (C\cap D)$ (rechts bzw. links) zeigen!

Das neutrale Element ist nicht die leere Menge, sondern A.Egal, welche Menge B man mit A schneidet, es kommt wieder die Menge B heraus. Das einzige Element, das invertierbar ist, ist wiederum A, (neutrales Element ist immer invertierbar), denn für jede echte Teilmenge B von A existiert keine Menge C, so daß B geschnitten C gleich A ist.

Die Operation ist kommutativ.

Folgerung: Für A = {} handelt es sich um eine kommutative Gruppe, für $A\neq \{\}$ um ein kommutatives Monoid.

Siehe auch: f.thread:37912