TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 353

Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation $\circ$ ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist.

$M=\mathbb {Q} \backslash \{1\},a\circ b=a+b-ab$

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Hilfreiches

Gruppeneigenschaften

Gruppeneigenschaften

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

1. Abgeschlossenheit: für $a,b\in G$ ist $a\circ b\in G$ (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das $\circ$ entspricht einer Funktion $\circ :G\times G\rightarrow G$
2. Assoziativgesetz: $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$ für alle $a,b,c\in G$.
3. Einheitselement: Es existiert ein $e\in G$, so dass für alle $a\in G$ gilt: $a\circ e=e\circ a=a$.
4. Inverses Element: Für jedes $a\in G$ gibt es ein inverses Element $a'\in G$ (oder auch $a^{-1}$) so, dass gilt $a\circ a'=a'\circ a=e$. Wobei das e das Einheitselement ist.
5. Kommutativgesetz: $a\circ b=b\circ a$ für alle $a,b\in G$.

Nr.	Gruppoid	Halbgruppe	Monoid	Gruppe	Abelsche Gruppe
1	✓	✓	✓	✓	✓
2		✓	✓	✓	✓
3			✓	✓	✓
4				✓	✓
5					✓

Lösungsvorschlag von mnemetz

Abgeschlossenheit

Für alle Elemente a und b aus der gegebenen Menge M soll bei der vorgeschriebenen Operation gelten, dass das Ergebnis wieder ein Element der gegebenen Menge M ist.

Vorschlag von mnemetz

Da die gegebene Menge M die Menge $\mathbb {Q}$ ohne 1 ist, müssen wir untersuchen, ob der Ausdruck $a+b-ab$ überhaupt Eins ergeben kann. Prüfen wir also:

$a+b-ab=1$ $a-ab=1-b$ $a*(1-b)=1-b$ $a={\frac {1-b}{1-b}}$ $a=1$

(und b = 0)

Analog mit b zu verfahren (b = 1, a = 0).

Schlussfolgerung: Das Ergebnis der Operation $a\circ b$ ist nur dann 1, wenn entweder a oder b 1 sind, aber das ist von vornherein ausgeschlossen. Daher ist die Abgeschlossenheit gegeben.

Vorschlag aus dem Informatikforum (editiert von mnemetz)

Nach: https://web.archive.org/web/*/informatik-forum.at/showthread.php?p=276443

Behauptung: Sei $a,b\in \mathbb {Q} ,a\neq 1,b\neq 1$. Dann ist $a+b-ab\neq 1$

Indirekter Beweis: Sei $a+b-ab=1$.

Aus $a+b-ab=1$ erhalte ich $a-ab=1-b$.

Für $a\neq 0$ folgt nun: $a(1-b)=1-b$ (für $a=0$ ist, wegen $0+b-0b=1$, $b=1$ ein Widerspruch zur VS)

(weil $b\neq 1$) => $a={\frac {1-b}{1-b}}=1$ (Widerspruch)

Daher: Abgeschlossenheit gegeben

Assoziativität

Damit Assoziativität gegeben ist, muss gelten: $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$.

Prüfen wir nun:

• Linke Seite: $a\circ (b+c-bc)=a+b+c-bc-ab-ac+abc$
• Rechte Seite: $(a+b-ab)\circ c=a+b-ab+c-ac-bc+abc$

Beide Seiten sind gleich: daher ist die Assoziativität gegeben.

Einheitselement

Für ein Einheitselement e aus M muss gelten: $a\circ e=e\circ a=a$

Wir prüfen also:

$a\circ e=a+e-ae=a$

Klar scheint nun, dass das Einheitselement e 0 sein muss. Daher existiert ein Einheitselement e.

Inverses Element

Bei der Operation $a\circ a'=a'\circ a=e$ soll das Einheitselement e herauskommen. Prüfen wir also:

Vorschlag von mnemetz (offensichtlich falsch)

$a\circ a'=0$

$a+a'-aa'=0$

Es existiert daher ein inverses Element a'.

Einwand von Daniela (dadar) und Christoph (ChristophM), dokumentiert von mnemetz

Dadar: Meiner Meinung nach (bin mir nicht so sicher) existiert kein inverses Element von a, weil wenn a zB 2 dann gilt 2-2-2*(1/2)=-1. Es funktioniert nur wenn man a=0 setzt???

Wenn jetzt $a\circ a'=0$ sein soll, dann folgt daraus:

$a+a'-a'*a=0$

$a+a'*(1-a)=0$

$a'*(1-a)=-a$

$a'=-{\frac {a}{1-a}}$

Das ist das inverse Element. Dabei darf a nicht 1 sein, sonst erfolgt die Division durch Null, jedoch ist 1 sowieso ausgeschlossen ($M=\mathbb {Q} \backslash \{1\}$).

Es existiert für jedes Element a aus M ein invereses Element a' .

(1 ist sowieso ausgenommen, das inverse Element von a=3 wäre $a'={\frac {3}{2}}$, und es führt zu einem korrekten Ergebnis)

Dass wir zuerst eine Fehlannahme hatten ist darauf zurückzuführen, dass wir zuerst nur die notwendige Ausschließung von 1 betrachtet hatte, und nicht weiter. Danke, ChristophR in f.thread:37787 !

Kommutativität

Es muss gelten: $a\circ b=b\circ a$

• $a\circ b=a+b-ab$
• $b\circ a=b+a-ba$

Somit ist die Kommutativität gegeben.

Schlussfolgerung

Es liegt somit eine Abelsche Gruppe vor.