Auf
sei eine Addition
komponentenweise definiert, d.h.,
. Beweisen Sie, dass
eine Gruppe ist und geben Sie auch die Operationstafel von
an.
Dieses Beispiel ist als
solved markiert. Ist dies falsch oder ungenau? Aktualisiere den Lösungsstatus (Details:
Vorlage:Beispiel)
![{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{2}=\{({\overline {0}},{\overline {0}}),({\overline {0}},{\overline {1}}),({\overline {1}},{\overline {0}}),({\overline {1}},{\overline {1}})\}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=cfa18b189ff0fded54b1b33c010d3c73&mode=mathml)
![{\displaystyle (({\overline {a_{1}}},{\overline {a_{2}}})+_{2}({\overline {b_{1}}},{\overline {b_{2}}}))+_{2}({\overline {c_{1}}},{\overline {c_{2}}})=({\overline {a_{1}}}+{\overline {b_{1}}},{\overline {a_{2}}}+{\overline {b_{2}}})+_{2}({\overline {c_{1}}},{\overline {c_{2}}})=({\overline {a_{1}}}+{\overline {b_{1}}}+{\overline {c_{1}}},{\overline {a_{2}}}+{\overline {b_{2}}}+{\overline {c_{2}}})=({\overline {a_{1}+b_{1}+c_{1}}},{\overline {a_{2}+b_{2}+c_{2}}})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6c99a7dd30c2a73ea03648b276a4946e&mode=mathml)
![{\displaystyle ({\overline {a_{1}}},{\overline {a_{2}}})+_{2}(({\overline {b_{1}}},{\overline {b_{2}}})+_{2}({\overline {c_{1}}},{\overline {c_{2}}}))=({\overline {a_{1}}},{\overline {a_{2}}})+_{2}({\overline {b_{1}}}+{\overline {c_{1}}},{\overline {b_{2}}}+{\overline {c_{2}}})=({\overline {a_{1}}}+{\overline {b_{1}}}+{\overline {c_{1}}},{\overline {a_{2}}}+{\overline {b_{2}}}+{\overline {c_{2}}})=({\overline {a_{1}+b_{1}+c_{1}}},{\overline {a_{2}+b_{2}+c_{2}}})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=dea9e48bf7224a7d905e207c9c05161d&mode=mathml)
![{\displaystyle \Rightarrow assoziativ}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ba235ce27923481a9dc61967f157c089&mode=mathml)
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Aus der Operationstafel kann man herauslesen, dass jede Verknüpfung mit
immer in
bleibt. ![{\displaystyle \Rightarrow abgeschlossen}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=fbbbc17a6f6eeee1b669c519054fafa0&mode=mathml)
![{\displaystyle \forall {\overline {a_{1}}},{\overline {a_{2}}}\in \mathbb {Z} _{2}^{2}:({\overline {a_{1}}},{\overline {a_{2}}})+_{2}({\overline {0}},{\overline {0}})=({\overline {a_{1}}}+{\overline {0}},{\overline {a_{2}}}+{\overline {0}})=({\overline {a_{1}}},{\overline {a_{2}}})\to e=({\overline {0}},{\overline {0}})\Rightarrow neutrales\,Element}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6a72b8ca97f9ba923496d4cacf3b3e29&mode=mathml)
![{\displaystyle \forall {\overline {a_{1}}},{\overline {a_{2}}}\in \mathbb {Z} _{2}^{2}:\exists ({\overline {b_{1}}},{\overline {b_{2}}})\in \mathbb {Z} _{2}^{2}:({\overline {a_{1}}},{\overline {a_{2}}})+_{2}({\overline {b_{1}}},{\overline {b_{2}}})=({\overline {0}},{\overline {0}})\to {\overline {b_{1}}}=({\overline {a_{1}}})^{-1},{\overline {b_{2}}}=({\overline {a_{2}}})^{-1}\Rightarrow inverse\,Elemente}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=02018564855fd37d5af6c4089f95e0bc&mode=mathml)
(Das inverse Element ist immer die Restklasse selber d.h
)