TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 420

Von der Menge $K\subseteq \mathbb {C}$ sei bekannt:

i) $\mathbb {R} \subseteq K$

ii) $1+3i\in K$

iii) $<K,+,\cdot >$ ist ein Körper (mit der Addition bzw. Multiplikation aus $\mathbb {C}$).

Zeigen Sie, dass $K=\mathbb {C}$ sein muss.

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Lösungsvorschlag von Berti

Zuerst sollten wir uns ansehen, wie die komplexen Zahlen definiert sind. Wikipedia to the rescue:

Die komplexen Zahlen lassen sich als Zahlbereich im Sinne einer Menge von Zahlen, für die die Grundrechenarten Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division erklärt sind, mit den folgenden Eigenschaften definieren:

1. Die reellen Zahlen sind in den komplexen Zahlen enthalten. Das heißt, dass jede reelle Zahl eine komplexe Zahl ist.
2. Das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen.
3. Das Distributivgesetz gilt.
4. Für jede komplexe Zahl $x$ existiert eine komplexe Zahl $-x$, sodass $x+(-x)=0$.
5. Für jede von null verschiedene komplexe Zahl $x$ existiert eine komplexe Zahl ${\tfrac {1}{x}}$, sodass ${\tfrac {1}{x}}\cdot x=1$.
6. Es existiert eine komplexe Zahl $i$ mit der Eigenschaft $i^{2}=-1$.

Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl

Wenn wir diese sechs Punkte zeigen können, haben wir demnach auch gezeigt, dass unsere Menge $K$ der Menge $\mathbb {C}$ entspricht.

Der erste Punkt ist trivial. Aus der Angabe (Punkt (i)) folgt schon, dass $\mathbb {R} \subseteq K$. Hier brauchen wir nichts weiter tun.

Das Assoziativitätsgesetz, das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz (Punkte 2 und 3) müssen gelten, da es sich um einen Körper handelt (Punkt (iii) der Angabe). Würden die drei Gesetze nicht gelten, wäre es kein Körper und der Beweis wäre hinfällig.

Die Punkte 4 bis 6 zeigen nun, was wir beweisen müssen, damit wir behaupten können, dass $K=\mathbb {C}$ gilt.

Der Punkt 6 ist dabei der, den wir zuerst beweisen: Aus Punkt (ii) wissen wir, dass $1+3i\in K$ gilt. Es sollte reichen zu zeigen, dass $i\in K$ gilt, womit Punkt 6 eben bewiesen wäre. Da $\mathbb {R} \subseteq K$ gilt und $K$ ein Körper ist (mit der üblichen Addition bzw. Multiplikation) können dadurch alle komplexen Zahlen erzeugt werden und die Punkte 4 und 5 wären auch erfüllt, da diese schon von der Eigenschaft, dass es sich bei K um einen Körper handelt, erfüllt sind.

Da $\mathbb {R} \subseteq K$ und $K$ ein Körper ist und gemäß der Angabe die Addition bzw. Multiplikation aus $\mathbb {C}$ gilt, können wir einfach das inverse von $1$ zu $1+3i$ addieren:

$(1+3i)+(-1)=3i$

Nach dem auch die Multiplikation gilt, können wir das Ergebnis mit dem Inversen von $3$ multiplizieren:

$3i\cdot 3^{-1}=i$

Somit haben wir $i$ hergeleitet, was also Teil der Menge $K$ sein muss. Mit Hilfe von $i$ können wiederum alle komplexen Zahlen erzeugt werden.

-- Berti933 (Diskussion) 17:08, 18. Jan. 2015 (CET)