Beweisen Sie, dass jede quadratische Matrix A als Summe einer symmetrischen Matrix B (d.h.
) und einer schiefsymmetrischen Matrix C (d.h.,
geschrieben werden kann. (Hinweis: Wählen Sie
.) Wie sieht diese Zerlegung konkret für die Matrix
aus?
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{{Beispiel|1=
Angabetext
}}
oder
{{Beispiel|
Angabetext
}}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}
Wir befolgen mal brav den Vorschlag der Angabe und setzen
. Wir müssen nun zeigen, dass diese Matrix symmetrisch ist, also dass für alle i,j gilt
.
Dazu schauen wir uns diese Elemente mal konkret an:
Die Matrix B ist also symmetrisch.
Um nun die Matrix C zu finden, so dass gilt
berechnen wir einfach
.
Nun müssen wir noch prüfen, ob diese Matrix auch schiefsymmetrisch ist, also ob gilt
. Betrachten wir beide mal näher:
Setzen wir nun ein:
Wahre Aussage. Damit ist bewiesen, dass C schiefsymmetrisch ist.
Um nun B und C für die gegebene Matrix zu finden, einfach in die Formeln einsetzen und wir erhalten:
Die Summe dieser beiden sollte dann wieder A ergeben.
Ich habe einen ähnlichen Lösungsweg wie Ryus gewählt, allerdings bin ich ein wenig anders vorgangen. Dass die Matrizen symmetrisch bzw. schiefsymmetrisch sind, muss man IMHO nicht zeigen (das wird in der Angabe ja als Voraussetzung genannt), sondern diese Eigenschaften sollte man sich zunutze machen.
Aus der Angabe können wir folgende Eigenschaften bzw. Gleichungen ableiten:
- Matrix
ist quadratisch, daher gilt
sowie ![{\displaystyle a_{ji}=b_{ji}+c_{ji}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8687d1564d43f1f25cdc9617abc94329&mode=mathml)
- Matrix
ist symmetrisch, daher gilt ![{\displaystyle b_{ij}=b_{ji}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9513fff72128c2d6f068757c3718e2bc&mode=mathml)
- Matrix
ist schiefsymmetrisch, daher gilt ![{\displaystyle c_{ij}=-c_{ji}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8f521e07cd7878abe6f47aa38f237eeb&mode=mathml)
- Matrix
lässt sich über die Matrix
und die transponierte Matrix von
(also
beschreiben): ![{\displaystyle b_{ij}={\frac {1}{2}}(a_{ij}+a_{ji})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=cddfb3bc06b0f64ea1bc820487da2a4d&mode=mathml)
Nun setzen wir die Gleichungen so ein, dass sich daraus eine wahre Aussage ergibt, d.h. alle Variablen wegfallen.
Zuerst eliminieren wir dazu
und
, diese lassen sich ja durch
bzw.
ausdrücken:
![{\displaystyle a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9ce15dc14a276403aad541b102bdb3c5&mode=mathml)
![{\displaystyle a_{ji}=b_{ij}-c_{ij}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9e34b53d81b883f820e1998880c9fdd3&mode=mathml)
![{\displaystyle b_{ij}={\frac {1}{2}}(a_{ij}+a_{ji})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=cddfb3bc06b0f64ea1bc820487da2a4d&mode=mathml)
Nun setzen wir für
ein:
![{\displaystyle a_{ij}={\frac {1}{2}}(a_{ij}+a_{ji})+c_{ij}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e051d440948437140114326316c8b1a8&mode=mathml)
![{\displaystyle a_{ji}={\frac {1}{2}}(a_{ij}+a_{ji})-c_{ij}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=cc6c7d3aad51d7071d7d481846a3483d&mode=mathml)
Und formt man beide Gleichungen nach
um:
![{\displaystyle c_{ij}=a_{ij}-{\frac {1}{2}}a_{ij}-{\frac {1}{2}}a_{ji}={\frac {1}{2}}(a_{ij}-a_{ji})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ce3e4649fc2c7e1ef3545643e085c15f&mode=mathml)
![{\displaystyle c_{ij}={\frac {1}{2}}a_{ij}+{\frac {1}{2}}a_{ji}-a_{ji}={\frac {1}{2}}(a_{ij}-a_{ji})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=06bb584c3fa84701af763a23460c551e&mode=mathml)
Ergibt sich für beide Gleichungen der gleiche Term. Womit die Aussage bewiesen wäre.
Außerdem hat man nun zwei allgemein verwendbare Gleichungen hergeleitet:
![{\displaystyle b_{ij}={\frac {1}{2}}(a_{ij}+a_{ji})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=cddfb3bc06b0f64ea1bc820487da2a4d&mode=mathml)
![{\displaystyle c_{ij}={\frac {1}{2}}(a_{ij}-a_{ji})}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=965a7bd1bf8a81402f1aa3dc60bee5dd&mode=mathml)
Mit diesen kann man die Zerlegung der Matrix
aus der Angabe recht schnell konkret nachrechnen.
-- Berti933 (Diskussion) 17:23, 2. Mär. 2015 (CET)