TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 535

Sei $V=\mathbb {R} _{n}[x]$ der Vektorraum der Polynome in $x$ vom Grad $\leq n$ mit Koeffizienten aus $\mathbb {R}$. Sei weiters eine Abbildung $D$ definiert durch

$D(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k})=\sum _{k=1}^{n}ka_{k}x^{k-1}$

Untersuchen Sie, ob $D$ eine lineare Abbildung ist. Untertsuchen Sie $D$ weiters auf Injektivität und Surjektivität.

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Lösung

(Teile von Königd's Lösungsvorschlag wurden übernommen.)

Wenn man sich die Angabe genauer anschaut, fällt einem auf, dass die Abbildung die erste Ableitung nach x nachstellt.

Lineare Abbildung

Damit eine Abbildung als lineare bezeichnet werden darf, müssen folgende Eigenschaften gelten:

a) $D(a+b)=D(a)+D(b)$

b) $D(\lambda *a)=\lambda *D(a)$

a) Wir werten die linke und rechte Seite separat aus:

$D(a+b)=D(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}+\sum _{k=0}^{n}b_{k}x^{k})=D(\sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}+b_{k}x^{k})=D(\sum _{k=0}^{n}(a_{k}+b_{k})x^{k})=\sum _{k=1}^{n}k(a_{k}+b_{k})x^{k-1}$

$D(a)+D(b)=D(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k})+D(\sum _{k=0}^{n}b_{k}x^{k})=\sum _{k=1}^{n}ka_{k}x^{k-1}+\sum _{k=1}^{n}kb_{k}x^{k-1}=\sum _{k=1}^{n}(ka_{k}x^{k-1}+kb_{k}x^{k-1})=\sum _{k=1}^{n}k(a_{k}+b_{k})x^{k-1}$

b) Wir werten wieder die linke und rechte Seite separat aus:

$D(\lambda a)=D(\lambda \sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k})=D(\sum _{k=0}^{n}\lambda a_{k}x^{k})=\sum _{k=1}^{n}k\lambda a_{k}x^{k-1}$

$\lambda D(a)=\lambda D(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k})=\lambda \sum _{k=1}^{n}ka_{k}x^{k-1}=\sum _{k=1}^{n}k\lambda a_{k}x^{k-1}$

Injektivität

Da es sich um Ableitungsfunktionen handelt, und jede Ableitung unendlich viele Stammfunktionen hat (verschoben um die additive Konstante) ist diese Funktion nicht injektiv.

Am einfachsten lässt sich dies mithilfe eines Gegenbeispiels beweisen. Gesucht sind also zwei unterschiedliche Polynome, die auf dasselbe Polynom abgebildet werden.

Nachfolgend sind zwei Beispiele angeführt:

Simples Beispiel:

$D(2)=0$

$D(1)=0$

Komplexeres Beispiel:

$D(2+3x+x^{2})=3+2x$

$D(1+3x+x^{2})=3+2x$

Surjektivität

Für gewöhnlich hat jede Ableitungsfunktion eine bzw. sogar unendlich viele Stammfunktionen.

Die Abbildung ist innerhalb des gegebenen Raums jedoch nicht surjektiv, da beispielsweise $x^{n}$ keine Stammfunktion in $\mathbb {R} _{n}[x]$ besitzt.

Lösungsvorschlag von Königd

--Königd 13:50, 18. Jun. 2019 (CEST)

Wird in Beispiel 530 im ersten Teil beantwortet. TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_UE_(diverse)/Übungen_SS19/Beispiel_530