TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 588

Man bestimme die Eigenwerte der Matrix A:

$A={\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}}$

Update: WS16: "Man bestimme die Eigenwerte der Matrix A sowie zu jedem Eigenwert alle Eigenvektoren:"

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Lösungsvorschlag von mnemetz

Das Eigenwertpolynom wird bestimmt durch die Formel: $det(A-(E_{A}*\lambda ))$, wobei $E_{A}$ der Einheitsvektor von A ist.

$Eig_{A}=det({\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \end{pmatrix}})=det({\begin{pmatrix}1-\lambda &-1\\-1&1-\lambda \end{pmatrix}})$

$=(1-\lambda )*(1-\lambda )-1=1-2*\lambda +\lambda ^{2}-1=-2*\lambda +\lambda ^{2}={\mathit {\lambda *(\lambda -2)}}$

$\underbrace {\lambda } _{\lambda _{1}=0}*\underbrace {(\lambda -2)} _{\lambda _{2}=2}$

Die Eigenwerte von A sind somit:

• $\lambda _{1}=0$
• $\lambda _{2}=2$

Erweiterung von mnemetz's Lösungsvorschlag von ws

Die Eigenvektoren sind bestimmt durch die Formel: $A-(E_{A}*\lambda _{n}))*x=0$, wobei man als $\lambda$ alle Eigenwerte nacheinander einsetzt.

Für $\lambda =0$ haben wir also $({\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}})*{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}=0$

Hier können wir schon sehen, dass $x_{1}=x_{2}$ herauskommt.

Unser unbestimmter Eigenvektor wäre also: ${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{1}\end{pmatrix}}$

(Konkret könnten wir z.B: 1 einsetzen und würden ${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ als bestimmten Eigenvektor bekommen.)

Für $\lambda =2$ kommt uns die Matrix $({\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}})*{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}=0$ heraus.

Daraus kann man ablesen, dass $x_{1}=-x_{2}$.

Daher haben wir hier den unbestimmten Eigenvektor: ${\begin{pmatrix}x_{1}\\-x_{1}\end{pmatrix}}$