Man beweise mittels vollständiger Induktion:
![{\displaystyle \sum _{j=0}^{n}j2^{j}=2^{n+1}(n-1)+2\qquad (n\geq 0)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=27051538a55a9d398c8425efb20d3ab4&mode=mathml)
Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier:
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{{Beispiel|1=
Angabetext
}}
oder
{{Beispiel|
Angabetext
}}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}
Induktionsanfang:
Zu zeigen ist also:
Induktionsvoraussetzung:
Diese entspricht der Angabe:
Induktionsbehauptung:
Die durch die Gleichung beschriebene Eigenschaft überträgt sich von
auf
:
Induktionsschritt:
Wir betrachten die Induktionsbehauptung:
Wir extrahieren den letzten Summanden (mit
) aus der Summe links:
Wir setzen aus der Induktionsvoraussetzung für die übrig gebliebene Summe ein:
Wir subtrahieren auf beiden Seiten
und heben links
heraus:
Den resultierenden Faktor
aus dem Klammernausdruck
links verschieben wir in den Exponenten der Potenz (erhöhen ihn also um
):