TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 600

Im ${ℝ}^3$ sei ein verallgemeinertes Skalarprodukt gegeben durch die Matrix

$G=\left(\begin{array}{ccc}13& 0& -5\\ 0& 9& -6\\ -5& -6& 6\end{array}\right)$

Berechnen Sie für die Vektoren $\overrightarrow{x}=(1,2,3)\text{ und }\overrightarrow{y}=(3,-1,2)$

(a) die Längen von $\overrightarrow{x}\text{ und }\overrightarrow{y}$

(b) den Winkel $\phi \text{ zwischen }\overrightarrow{x}\text{ und }\overrightarrow{y}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

von --Piri (Diskussion) 22:39, 29. Dez. 2018 (CET)

(a)

$||\overrightarrow{x}|{|}_G=\sqrt{⟨\overrightarrow{x},\overrightarrow{x}{⟩}_G}=\sqrt{{\overrightarrow{x}}^T\cdot G\cdot \overrightarrow{x}}=1$

$||\overrightarrow{y}|{|}_G=\sqrt{⟨\overrightarrow{y},\overrightarrow{y}{⟩}_G}=\sqrt{114}$

(b) Für den Winkel benötigen wir noch das normale Skalarprodukt

$⟨\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}{⟩}_G={\overrightarrow{x}}^T\cdot G\cdot \overrightarrow{y}=-4$

$\cos \phi =\frac{⟨\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}{⟩}_G}{||\overrightarrow{x}||\cdot ||\overrightarrow{y}||}\iff \cos \phi =\frac{-4}{1\cdot \sqrt{114}}\Rightarrow \phi \approx 112^{\circ }$