TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 72

Beweisen Sie: Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 3 teilbar ist. Mit der Ziffernsumme einer Zahl ist die Summe der Ziffern ihrer Dezimaldarstellung gemeint.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Dieses Beispiel hat noch keinen Lösungsvorschlag. Um einen zu erstellen, kopiere folgende Zeilen, bearbeite die Seite und aktualisiere den status=unsolved Mögliche status=... Werte stehen hier: Vorlage:Beispiel

== Lösungsvorschlag von ~~~ ==
--~~~~

Siehe auch Hilfe:Formeln und Hilfe:Beispielseiten.

Lösungsvorschlag von essenspause

Angenommen die Zahl der Darstellung $a_{n}a_{n-1}a_{n-2}...a_{0}$ ist durch 3 teilbar. Dann gilt für die Dezimalentwicklung:

$a_{n}*10^{n}+a_{n-1}*10^{n-1}+...+a_{0}*1\equiv 0mod3$

10 stellt in mod 3 als multiplikative konstante aber ein neutrales Element dar, weil $10\equiv 1mod3$ entsprechend gilt dies für alle $10^{n}\equiv 1mod3$.

Daher folgt aus der Darstellung als Dezimalentwicklung:

$a_{n}+a_{n-1}+...+a_{0}\equiv 0mod3$

Was der Ziffernsumme entspricht.

Der Umgekehrte Schluss ist auch möglich (einzelne Ziffern mit 10^n zu multiplizieren), da es jeweils das neutrale Element ist. Entsprechend ist die Äquivalenz bewiesen.

--~~~~