TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 1

Zeigen Sie, daß ${\sqrt {3}}$ irrational ist!

Euklids Lösungsverfahren

Als sich Euklid im zehnten Buch seiner Elemente an das Problem der Irrationalität von Zahlen heranwagte, ging es ihm darum zu beweisen, daß es eine Zahl geben kann, die nicht als Bruch darstellbar ist. Anstatt zu beweisen, daß $\pi$ irrational ist, untersuchte er die Quadratwurzel von 2, also ${\sqrt {2}}$ [...]. Um zu beweisen, daß ${\sqrt {2}}$ nicht als Bruch dargestellt werden kann, bediente sich Euklid der reductio ad absurdum und nahm zunächst einmal an, daß sie als Bruch aufgeschrieben werden könne. Dann zeigte er, dass dieser hypothetische Bruch immer weiter vereinfacht oder gekürzt werden kann. [...] Euklid zeigt jedoch, daß der hypothetische Bruch, der ${\sqrt {2}}$ darstellen soll, immer weiter und unendlich oft gekürzt werden könnte, ohne je seine einfachste Form zu erlangen. Das ist unsinnig, denn jeder Bruch muss einmal auf seine einfachste Form kommen; deshalb kann der angenommene hypothetische Bruch nicht existieren.

(Zitat aus "Fermats letzter Satz", Simon Singh, dtv 1998, TB, S. 74)

Einige elementare Eigenschaften von Brüchen und geraden Zahlen müssen wir noch wissen:

1. Wenn wir eine beliebige Zahl nehmen und sie mit 2 multiplizieren, muss die sich ergebende Zahl gerade sein. Das ist praktisch die Definition einer geraden Zahl.
2. Wenn das Quadrat einer Zahl (un-)gerade ist, so muss auch die Zahl selbst (un-)gerade sein.
3. Brüche können vereinfacht werden: ${\frac {16}{24}}$ ist das gleiche wie ${\frac {8}{12}}$. [...} Weiterhin ist ${\frac {8}{12}}$ das gleiche wie ${\frac {4}{6}}$, und ${\frac {4}{6}}$ wiederum das gleiche wie ${\frac {2}{3}}$. Allerdings kann ${\frac {2}{3}}$ nicht mehr weiter vereinfacht werden, weil 2 und 3 keine gemeinamen Teiler haben. Es ist unmöglich, einen Bruch unendlich oft zu vereinfachen.

(Zitat aus "Fermats letzter Satz", Simon Singh, dtv 1998, TB, S. 344)

Wir nehmen an, ${\sqrt {3}}$ ließe sich als rationale Zahl mit einem Bruch darstellen.

${\sqrt {3}}={\frac {p}{q}}$

Daraus folgt wiederum:

$3={\frac {p^{2}}{q^{2}}}$

Und nach weiterer Umformung:

$3*q^{2}=p^{2}$

$\Rightarrow p^{2}$ ist durch 3 teilbar $\Rightarrow p$ ist durch 3 teilbar: Setzen $p=3r$

$(3r)^{2}=3q^{2}$

$9r^{2}=3q^{2}$

$3r^{2}=q^{2}$

(Anmerkung --Zool 20:49, 9. Nov 2008 (CET) hier ist der Beweis schon zu Ende:

$3r^{2}=q^{2}$ $\Rightarrow q^{2}$ ist durch 3 teilbar $\Rightarrow q$ ist auch durch 3 teilbar. Es kann aber nicht sein, dass q und p beide durch 3 teilbar sind, dies ist ein Widerspruch zu ggT(q,p)=1 ! Daher ${\sqrt {3}}$ ist irrational, da es nicht in einem Bruch dargestellt werden kann.)

Analog kann man auch für p argumentieren, daher können wir schreiben:

$3={\frac {p^{2}}{q^{2}}}={\frac {3*r^{2}}{3*s^{2}}}$

$3={\frac {p^{2}}{q^{2}}}={\frac {r^{2}}{s^{2}}}$

Wobei der Bruch r,s ein vereinfachter von p,q ist.

Das ganze könnte man weitermachen mit t,u usw. Aber Brüche können nicht unendlich oft vereinfacht werden => Widerspruch, dass ${\sqrt {3}}$ sich als Bruch darstellen ließe.

Diskussion

Meiner Meinung nach ließe sich dieses Verfahren genauso für ${\sqrt {9}}$ zeigen, wodurch dieser Beweis definitiv absurd wäre, und jeglicher Beweis von Bsp. 1-4 ebenso! Ab dem Punkt mit der Annahme:

$\Rightarrow p^{2}$ ist durch 3 teilbar $\Rightarrow p$ ist durch 3 teilbar: Setzen $p=3r$

ist dieser Ansatz für Zahlen wie 9 nicht mehr durchführbar, bzw. einfach falsch!

Meiner Meinung nach ließe es sich für die Zahlen besser beweisen wenn man davon ausgeht, dass die Wurzel einer Primzahl immer eine irrationale Zahl ist (da eine Primzahl nur durch sich selbst und 1 teilbar ist, gibt es keine ganze Zahl die mit sich quadriert eine Primzahl ergibt!!). Somit haben wir die Zahlen 2,3,5,7,11,13,17, ... bewiesen. Was aber mit 6 oder 10 oder 16?

Nun hier bedienen wir uns der Primfaktorenzerlegung und wir wissen, dass $6=3*2$ und $10=2*5$ und $16=2*2*2*2$ ist.

Aufgrund der Annahme, dass das Produkt zweier unterschiedlicher irrationale Zahlen wieder eine irrationale Zahl ergibt (hier nicht Bewiesen (sic!*)) ist dieses Problem lösbar. Bei 6 und 10 tritt diese Annahme in Kraft, jedoch nicht bei 16, hier bleibt als einzige Primzahl $2^{4}$ stehen und die Wurzel daraus ist $2^{\frac {4}{2}}=2^{2}=4$.

Womit dieses Problem für alle beliebigen Zahlen lösbar ist! Q.E.D. --W1n5t0n 18:47, 29. Mär. 2009 (CEST)

(sic!) ${\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}=2$ und ${\sqrt {2}}*{\frac {1}{\sqrt {2}}}=1$

Ich finde keinen Beweis für "das Produkt zweier irrationaler Zahlen ist wieder eine irrationale Zahl" aber ausreichend Gegenbeispiele, zb.: ${\sqrt {2}}*{\sqrt {18}}=6$ --Pie3 16:04, 5. Mai 2011 (CEST)

Wikipedia Erklärung

Auch: warum soll der Ansatz falsch sein ab (Setzen p=3r). Dann hast du 9q^2=(3r)^2 und weiters 9q^2=9r^2 daraus ergibt sich q=r, wahre Aussage. da p immer 3r ist, wäre die abfolge der brüche hier 3/1, 6/2, 9/3, was alles der Wurzel aus 9 entspricht.