TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 18

Man finde alle sechsten Wurzeln von z = 8i in C und stelle sie in der Gaußschen Zahlenebene dar.

Hilfreiches

Radizierung von komplexen Zahlen in Polar-Darstellung:

$\sqrt[n]{[r,\phi ]}:w_k=[\sqrt[n]{r},k\frac{\phi 2\pi }{n}]k=0,\dots ,n-1$.

Eine $n-$te Wurzel hat in $ℂ$ also $n$ Lösungen.

In der Gauß'schen Ebene skizziert, bilden die Lösungen ein regelmäßiges $n-$Eck um den Ursprung.

Lösung(svorschlag)

von --Christian.abila 15:36, 10. Jul. 2012 (CEST)
n = 6
$r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{0+8^2}=\sqrt{64}=8$
$\phi =arctan(b/a)=arctan(8/0)=\frac{\pi }{2}$
$\sqrt[6]{[8,\pi /2]}:w_k=[\sqrt[6]{8},k\frac{\pi }{2}\ast \frac{2\pi }{6})]k=0,\dots ,5$

$w_k=[\sqrt[2]{2},k\ast \frac{{\pi }^2}{3})]$