TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 18

Man finde alle sechsten Wurzeln von z = 8i in C und stelle sie in der Gaußschen Zahlenebene dar.

Hilfreiches

Radizierung von komplexen Zahlen in Polar-Darstellung:

${\sqrt[{n}]{[r,\varphi ]}}:\quad w_{k}=[{\sqrt[{n}]{r}},k{\frac {\varphi 2\pi }{n}}]\quad k=0,\ldots ,n-1$.

Eine $n-$te Wurzel hat in $\mathbb {C}$ also $n$ Lösungen.

In der Gauß'schen Ebene skizziert, bilden die Lösungen ein regelmäßiges $n-$Eck um den Ursprung.

Lösung(svorschlag)

von --Christian.abila 15:36, 10. Jul. 2012 (CEST)
n = 6
$r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {0+8^{2}}}={\sqrt {64}}=8$
$\varphi =arctan(b/a)=arctan(8/0)={\frac {\pi }{2}}$
${\sqrt[{6}]{[8,\pi /2]}}:\quad w_{k}=[{\sqrt[{6}]{8}},k{\frac {\pi }{2}}*{\frac {2\pi }{6}})]\quad k=0,\ldots ,5$

$w_{k}=[{\sqrt[{2}]{2}},k*{\frac {\pi ^{2}}{3}})]\quad$