TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 28

Aus VoWi
Wechseln zu: Navigation, Suche

Man beweise \overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Buch Mathematik für Informatik Seite 13:
"Die Division \frac{z_1}{z_2} komplexer Zahlen kann nun so gesehen werden, dass der Quotient mit \overline{z_2} erweitert wird, so dass der Nenner z_2 * \overline{z_2} insgesamt reell wird."

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

von --Christian.abila 21:26, 16. Jul. 2012 (CEST)
z_1 = a_1 + ib_1, \overline{z_1} = a_1 - ib_1
z_2 = a_2 + ib_2, \overline{z_2} = a_2 - ib_2

\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + ib_1}{a_2 + ib_2} = \frac{(a_1 + ib_1)(a_2 - ib_1)}{(a_2 + ib_2)(a_2 - ib_2)} = \frac{a_1a_2 - ia_1b_2 + ia_2b_1 + b_1b_2}{a_2^2 - b_2^2} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + i(a_2b_1 - a_1b_2)}{a_2^2 - b_2^2}

\overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 - i(a_2b_1 - a_1b_2)}{a_2^2 - b_2^2}

\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} = \frac{a_1 - ib_1}{a_2 - ib_2} = \frac{(a_1 - ib_1)(a_2 + ib_2)}{(a_2 - ib_2)(a_2 + ib_2)} = \frac{a_1a_2 + ia_1b_2 - ia_2b_1 + b_1b_2}{a_2^2 - b_2^2} = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + i(a_1b_2 - a_2b_1)}{a_2^2 - b_2^2}