TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 28

Man beweise $\overline{(\frac{z_{1}}{z_{2}})} = \frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}} .$

Hilfreiches

Buch Mathematik für Informatik Seite 13:
"Die Division $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ komplexer Zahlen kann nun so gesehen werden, dass der Quotient mit $\overline{z_{2}}$ erweitert wird, so dass der Nenner $z_{2} * \overline{z_{2}}$ insgesamt reell wird."

Lösungsvorschlag

von --Christian.abila 21:26, 16. Jul. 2012 (CEST)
$z_{1} = a_{1} + i b_{1}, \overline{z_{1}} = a_{1} - i b_{1}$
$z_{2} = a_{2} + i b_{2}, \overline{z_{2}} = a_{2} - i b_{2}$

$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{a_{1} + i b_{1}}{a_{2} + i b_{2}} = \frac{(a_{1} + i b_{1}) (a_{2} - i b_{1})}{(a_{2} + i b_{2}) (a_{2} - i b_{2})} = \frac{a_{1} a_{2} - i a_{1} b_{2} + i a_{2} b_{1} + b_{1} b_{2}}{a_{2}^{2} - b_{2}^{2}} = \frac{a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + i (a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2})}{a_{2}^{2} - b_{2}^{2}}$

$\overline{(\frac{z_{1}}{z_{2}})} = \frac{a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} - i (a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2})}{a_{2}^{2} - b_{2}^{2}}$

$\frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}} = \frac{a_{1} - i b_{1}}{a_{2} - i b_{2}} = \frac{(a_{1} - i b_{1}) (a_{2} + i b_{2})}{(a_{2} - i b_{2}) (a_{2} + i b_{2})} = \frac{a_{1} a_{2} + i a_{1} b_{2} - i a_{2} b_{1} + b_{1} b_{2}}{a_{2}^{2} - b_{2}^{2}} = \frac{a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + i (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})}{a_{2}^{2} - b_{2}^{2}}$

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