TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 29

Stellen Sie alle Lösungen der quadratischen Gleichung $z^2+2z+4=0$ sowohl in der Form a + ib, a, b ∈ R, als auch in Polarkoordinatenform $r(cos\phi +isin\phi ),r\ge 0,0\le \phi <2\pi$, dar.

Hilfreiches

Lösungsformel für quadratische Gleichungen: $-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\frac{p}{4}}^2-q}$

Lösung(svorschlag)

von --Christian.abila 22:17, 16. Jul. 2012 (CEST)

p = 2, q = 4

$z_1=-1+\sqrt{-3}=-1+i\sqrt{3}$
$r_1=\sqrt{(-1{)}^2+{\sqrt{3}}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$
${\phi }_1=arctan(\frac{\sqrt{3}}{-1})=arctan(-\sqrt{3})=-\frac{\pi }{3}$
$\pi$ hinzufügen, weil das Ergebnis im zweiten Quadranten ist: ${\phi }_1=-\frac{\pi }{3}+\pi =\frac{2\pi }{3}$

$z_1=r_1(cos({\phi }_1)+isin({\phi }_1)))=2(cos(\frac{2\pi }{3})+isin(\frac{2\pi }{3}))$

$z_2=-1-i\sqrt{3}$
$r_2=\sqrt{4}=2$
${\phi }_2=arctan(\frac{-\sqrt{3}}{-1})=arctan(\sqrt{3})=\frac{\pi }{3}$
Hier muss auch $\pi$ hinzugefügt werden, weil $z_2$ im dritten Quadranten liegt: ${\phi }_2=\frac{\pi }{3}+\pi =\frac{4\pi }{3}$
$z_2=r_2(cos({\phi }_2)+isin({\phi }_2))=2\ast (cos(\frac{4\pi }{3})+isin(\frac{4\pi }{3}))$