Stellen Sie alle Lösungen der quadratischen Gleichung
sowohl in der Form
a + ib, a, b ∈ R, als auch in Polarkoordinatenform
, dar.
Lösungsformel für quadratische Gleichungen:
von --Christian.abila 22:17, 16. Jul. 2012 (CEST)
p = 2, q = 4
![{\displaystyle z_{1}=-1+{\sqrt {-3}}=-1+i{\sqrt {3}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=94db5d96c54b90593220633b99b6b490&mode=mathml)
![{\displaystyle r_{1}={\sqrt {(-1)^{2}+{\sqrt {3}}^{2}}}={\sqrt {1+3}}={\sqrt {4}}=2}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=722590f1e13dfc4dab1f63c165426af2&mode=mathml)
![{\displaystyle \varphi _{1}=arctan({\frac {\sqrt {3}}{-1}})=arctan(-{\sqrt {3}})=-{\frac {\pi }{3}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f4bf3c44f95303099520739f1f74284b&mode=mathml)
hinzufügen, weil das Ergebnis im zweiten Quadranten ist: ![{\displaystyle \varphi _{1}=-{\frac {\pi }{3}}+\pi ={\frac {2\pi }{3}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d0c9f500084ae1b4862936139403a6da&mode=mathml)
![{\displaystyle z_{1}=r_{1}(cos(\varphi _{1})+isin(\varphi _{1})))=2(cos({\frac {2\pi }{3}})+isin({\frac {2\pi }{3}}))}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b0c069ebb02af891c3785b01ebc50c24&mode=mathml)
![{\displaystyle z_{2}=-1-i{\sqrt {3}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=da48edbabe0593dc79bff68e53afc949&mode=mathml)
![{\displaystyle r_{2}={\sqrt {4}}=2}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6b40d6882897e4171e7f63c0f21053bf&mode=mathml)
![{\displaystyle \varphi _{2}=arctan({\frac {-{\sqrt {3}}}{-1}})=arctan({\sqrt {3}})={\frac {\pi }{3}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=823a008b56993bee6bd14cc798f9da9a&mode=mathml)
Hier muss auch
hinzugefügt werden, weil
im dritten Quadranten liegt: ![{\displaystyle \varphi _{2}={\frac {\pi }{3}}+\pi ={\frac {4\pi }{3}}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=ca3a371519664dc33881c285bc2faf32&mode=mathml)