TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 29

Stellen Sie alle Lösungen der quadratischen Gleichung $z^{2}+2z+4=0$ sowohl in der Form a + ib, a, b ∈ R, als auch in Polarkoordinatenform $r(cos\varphi +isin\varphi ),r\geq 0,0\leq \varphi <2\pi$, dar.

Hilfreiches

Lösungsformel für quadratische Gleichungen: $-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p}{4}}^{2}-q}}$

Lösung(svorschlag)

von --Christian.abila 22:17, 16. Jul. 2012 (CEST)

p = 2, q = 4

$z_{1}=-1+{\sqrt {-3}}=-1+i{\sqrt {3}}$
$r_{1}={\sqrt {(-1)^{2}+{\sqrt {3}}^{2}}}={\sqrt {1+3}}={\sqrt {4}}=2$
$\varphi _{1}=arctan({\frac {\sqrt {3}}{-1}})=arctan(-{\sqrt {3}})=-{\frac {\pi }{3}}$
$\pi$ hinzufügen, weil das Ergebnis im zweiten Quadranten ist: $\varphi _{1}=-{\frac {\pi }{3}}+\pi ={\frac {2\pi }{3}}$

$z_{1}=r_{1}(cos(\varphi _{1})+isin(\varphi _{1})))=2(cos({\frac {2\pi }{3}})+isin({\frac {2\pi }{3}}))$

$z_{2}=-1-i{\sqrt {3}}$
$r_{2}={\sqrt {4}}=2$
$\varphi _{2}=arctan({\frac {-{\sqrt {3}}}{-1}})=arctan({\sqrt {3}})={\frac {\pi }{3}}$
Hier muss auch $\pi$ hinzugefügt werden, weil $z_{2}$ im dritten Quadranten liegt: $\varphi _{2}={\frac {\pi }{3}}+\pi ={\frac {4\pi }{3}}$
$z_{2}=r_{2}(cos(\varphi _{2})+isin(\varphi _{2}))=2*(cos({\frac {4\pi }{3}})+isin({\frac {4\pi }{3}}))$