TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 30

Stellen Sie alle Lösungen der quadratischen Gleichung $z^2+4z+8=0$ sowohl in der Form a + ib, a, b ∈ R, als auch in Polarkoordinatenform $r(cos\phi +isin\phi ),r\ge 0,0\le \phi <2\pi$, dar.

Hilfreiches

Lösungsformel für quadratische Gleichungen: $-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\frac{p}{2}}^2-q}$

Lösung(svorschlag)

von --Christian.abila 22:29, 16. Jul. 2012 (CEST)

p = 4, q = 8
$z_1=-2+\sqrt{-4}=-2+2i$
$r_1=\sqrt{(-2{)}^2+2^2}=\sqrt{8}$
${\phi }_1=arctan(\frac{2}{-2})=arctan(-1)=-\frac{\pi }{4}$
$\pi$ hinzufügen, weil das Ergebnis im zweiten Quadranten ist: ${\phi }_1=-\frac{\pi }{4}+\pi =\frac{3\pi }{4}$

$z_1=r_1(cos({\phi }_1)+isin({\phi }_1)))=2(cos(\frac{3\pi }{4})+isin(\frac{3\pi }{4}))$

$z_2=-2-2i$
$r_2=\sqrt{8}$
${\phi }_2=arctan(\frac{-2}{-2})=arctan(1)=\frac{\pi }{4}$
Hier muss auch $\pi$ hinzugefügt werden, weil $z_2$ im dritten Quadranten liegt: ${\phi }_2=\frac{\pi }{4}+\pi =\frac{5\pi }{4}$
$z_2=r_2(cos({\phi }_2)+isin({\phi }_2))=2\ast (cos(\frac{5\pi }{4})+isin(\frac{5\pi }{4}))$