TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 30

Stellen Sie alle Lösungen der quadratischen Gleichung $z^{2}+4z+8=0$ sowohl in der Form a + ib, a, b ∈ R, als auch in Polarkoordinatenform $r(cos\varphi +isin\varphi ),r\geq 0,0\leq \varphi <2\pi$, dar.

Hilfreiches

Lösungsformel für quadratische Gleichungen: $-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p}{2}}^{2}-q}}$

Lösung(svorschlag)

von --Christian.abila 22:29, 16. Jul. 2012 (CEST)

p = 4, q = 8
$z_{1}=-2+{\sqrt {-4}}=-2+2i$
$r_{1}={\sqrt {(-2)^{2}+2^{2}}}={\sqrt {8}}$
$\varphi _{1}=arctan({\frac {2}{-2}})=arctan(-1)=-{\frac {\pi }{4}}$
$\pi$ hinzufügen, weil das Ergebnis im zweiten Quadranten ist: $\varphi _{1}=-{\frac {\pi }{4}}+\pi ={\frac {3\pi }{4}}$

$z_{1}=r_{1}(cos(\varphi _{1})+isin(\varphi _{1})))=2(cos({\frac {3\pi }{4}})+isin({\frac {3\pi }{4}}))$

$z_{2}=-2-2i$
$r_{2}={\sqrt {8}}$
$\varphi _{2}=arctan({\frac {-2}{-2}})=arctan(1)={\frac {\pi }{4}}$
Hier muss auch $\pi$ hinzugefügt werden, weil $z_{2}$ im dritten Quadranten liegt: $\varphi _{2}={\frac {\pi }{4}}+\pi ={\frac {5\pi }{4}}$
$z_{2}=r_{2}(cos(\varphi _{2})+isin(\varphi _{2}))=2*(cos({\frac {5\pi }{4}})+isin({\frac {5\pi }{4}}))$