TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 32

Man zeige $|\frac{z_1+z_2}{2}{|}^2+|\frac{z_1-z_2}{2}{|}^2=\frac{1}{2}(|z_1{|}^2+|z_2{|}^2)$

Hilfreiches

$|z|=\sqrt{z\ast \bar{z}}$

$|z{|}^2=z\ast \bar{z}$

$\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$

$\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}$

Lösung(svorschlag)

von --Christian.abila 23:59, 16. Jul. 2012 (CEST)

$\frac{1}{4}(|z_1+z_2{|}^2+|z_1-z_2{|}^2)=\frac{1}{4}((z_1+z_2)\ast \overline{(z_1+z_2)}+(z_1-z_2)\ast \overline{(z_1-z_2)})=$

$\frac{1}{4}((z_1\overline{z_1}+z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1}+z_2\overline{z_2})+(z_1\overline{z_1}-z_1\overline{z_2}-z_2\overline{z_1}+z_2\overline{z_2}))=\frac{1}{2}(|z_1{|}^2+|z_2{|}^2)$