TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 35

Welche Teilmenge der komplexen Zahlenebene beschreibt die angegebene Ungleichung? $\left|{\frac {z+4}{z-4}}\right|<3$

Lösung(svorschlag)

von --Christian.abila 11:38, 17. Jul. 2012 (CEST)

$\operatorname {Re} \left({\frac {z+4}{z-4}}\right)\epsilon ]3,3[$
$\operatorname {Im} \left({\frac {z+4}{z-4}}\right)\epsilon ]3,3[$

Anders ausgedrückt: alle komplexen Zahlen, die sich innerhalb des Kreises mit Radius 3 befinden.

${\sqrt {\operatorname {Re} \left({\frac {z+4}{z-4}}\right)^{2}+\operatorname {Im} \left({\frac {z+4}{z-4}}\right)^{2}}}<3|^{2}$
$\operatorname {Re} \left({\frac {z+4}{z-4}}\right)^{2}+\operatorname {Im} \left({\frac {z+4}{z-4}}\right)^{2}<9$

$z=a+ib,{\overline {z}}=a-ib$

$z_{1}=z+4=a+ib+4=4+a+ib,a_{1}=4+a$

$z_{2}=z-4=a+ib-4=-4+a+ib,a_{2}=-4+a$

${\frac {z+4}{z-4}}={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {z_{1}*{\overline {z_{2}}}}{z_{2}*{\overline {z_{2}}}}}={\frac {(a_{1}+ib)(a_{2}-ib)}{(a_{2}+ib)(a_{2}-ib)}}={\frac {a_{1}a_{2}-iba_{1}+iba_{2}+b^{2}}{a_{2}^{2}-iba_{2}+iba_{2}+b^{2}}}={\frac {a_{1}a_{2}+b^{2}+ib(a_{2}-a_{1})}{a_{2}^{2}+b^{2}}}$

$\operatorname {Re} \left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)={\frac {a_{1}a_{2}+b^{2}}{a_{2}^{2}+b^{2}}},\operatorname {Im} \left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)={\frac {b(a_{2}-a_{1})}{a_{2}^{2}+b^{2}}}$

$\left({\frac {a_{1}a_{2}+b^{2}}{a_{2}^{2}+b^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {b(a_{2}-a_{1})}{a_{2}^{2}+b^{2}}}\right)^{2}<9$