TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 35

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Welche Teilmenge der komplexen Zahlenebene beschreibt die angegebene Ungleichung? \left| \frac{z+4}{z-4} \right| < 3

Lösung(svorschlag)[Bearbeiten]

von --Christian.abila 11:38, 17. Jul. 2012 (CEST)

\operatorname{Re}\left(\frac{z+4}{z-4}\right) \epsilon ]3, 3[
\operatorname{Im}\left(\frac{z+4}{z-4}\right) \epsilon ]3, 3[

Anders ausgedrückt: alle komplexen Zahlen, die sich innerhalb des Kreises mit Radius 3 befinden.

\sqrt{\operatorname{Re}\left(\frac{z+4}{z-4}\right)^2 + \operatorname{Im}\left(\frac{z+4}{z-4}\right)^2} < 3 | ^2
\operatorname{Re}\left(\frac{z+4}{z-4}\right)^2 + \operatorname{Im}\left(\frac{z+4}{z-4}\right)^2 < 9

z = a + ib, \overline{z} = a - ib

z_1 = z + 4 = a + ib + 4 = 4 + a + ib, a_1 = 4 + a

z_2 = z - 4 = a + ib - 4 = -4 + a + ib, a_2 = -4 + a

\frac{z+4}{z-4} = \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1*\overline{z_2}}{z_2*\overline{z_2}} = \frac{(a_1+ib)(a_2-ib)}{(a_2+ib)(a_2-ib)} = \frac{a_1a_2 - iba_1 + iba_2 + b^2}{a_2^2 -iba_2 + iba_2 + b^2} = \frac{a_1a_2 + b^2 + ib(a_2 - a_1)}{a_2^2+b^2}

\operatorname{Re}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \frac{a_1a_2 + b^2}{a_2^2 + b^2}, \operatorname{Im}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \frac{b(a_2-a_1)}{a_2^2 + b^2}

\left(\frac{a_1a_2 + b^2}{a_2^2 + b^2}\right)^2 + \left(\frac{b(a_2 - a_1)}{a_2^2 + b^2}\right)^2 < 9