TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 35

Welche Teilmenge der komplexen Zahlenebene beschreibt die angegebene Ungleichung? $| \frac{z + 4}{z - 4} | < 3$

Lösung(svorschlag)

von --Christian.abila 11:38, 17. Jul. 2012 (CEST)

$Re (\frac{z + 4}{z - 4}) ϵ] 3, 3 [$
$Im (\frac{z + 4}{z - 4}) ϵ] 3, 3 [$

Anders ausgedrückt: alle komplexen Zahlen, die sich innerhalb des Kreises mit Radius 3 befinden.

$\sqrt{Re {(\frac{z + 4}{z - 4})}^{2} + Im {(\frac{z + 4}{z - 4})}^{2}} < 3 |^{2}$
$Re {(\frac{z + 4}{z - 4})}^{2} + Im {(\frac{z + 4}{z - 4})}^{2} < 9$

$z = a + i b, \overline{z} = a - i b$

$z_{1} = z + 4 = a + i b + 4 = 4 + a + i b, a_{1} = 4 + a$

$z_{2} = z - 4 = a + i b - 4 = - 4 + a + i b, a_{2} = - 4 + a$

$\frac{z + 4}{z - 4} = \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{z_{1} * \overline{z_{2}}}{z_{2} * \overline{z_{2}}} = \frac{(a_{1} + i b) (a_{2} - i b)}{(a_{2} + i b) (a_{2} - i b)} = \frac{a_{1} a_{2} - i b a_{1} + i b a_{2} + b^{2}}{a_{2}^{2} - i b a_{2} + i b a_{2} + b^{2}} = \frac{a_{1} a_{2} + b^{2} + i b (a_{2} - a_{1})}{a_{2}^{2} + b^{2}}$

$Re (\frac{z_{1}}{z_{2}}) = \frac{a_{1} a_{2} + b^{2}}{a_{2}^{2} + b^{2}}, Im (\frac{z_{1}}{z_{2}}) = \frac{b (a_{2} - a_{1})}{a_{2}^{2} + b^{2}}$

${(\frac{a_{1} a_{2} + b^{2}}{a_{2}^{2} + b^{2}})}^{2} + {(\frac{b (a_{2} - a_{1})}{a_{2}^{2} + b^{2}})}^{2} < 9$

TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 35

Lösung(svorschlag)

Navigationsmenü

Suche