TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 37

Man berechne alle Werte von $\sqrt{7+24i}=a+ib$ ohne Benützung der trigonometrischen Darstellung.
(Hinweis: Man quadriere die zu lösende Gleichung und vergleiche Real- und Imaginärteile.)

Lösung(svorschlag)

von --Christian.abila 12:15, 17. Jul. 2012 (CEST)

$z=7+24i=(a+ib{)}^2=a^2+i2ab-b^2$
$\mathrm{Re}(z)=7=a^2-b^2$
$\mathrm{Im}(z)=24=2ab\Rightarrow 12=ab\Rightarrow a=\frac{12}{b}$

$7=a^2-b^2={\left(\frac{12}{b}\right)}^2-b^2=\frac{144}{b^2}-b^2$
$0=\frac{144}{b^2}-b^2-7,bϵ\{3,-3,-4i,4i\}$
$aϵ\{4,-4,\frac{-3}{i},\frac{3}{i}\}$

$\sqrt{7+24i}=a+ib=4+3i,-4-3i,\frac{-3}{i}+4,\frac{3}{i}-4$

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