TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 37

Man berechne alle Werte von ${\sqrt {7+24i}}=a+ib$ ohne Benützung der trigonometrischen Darstellung.
(Hinweis: Man quadriere die zu lösende Gleichung und vergleiche Real- und Imaginärteile.)

Lösung(svorschlag)

von --Christian.abila 12:15, 17. Jul. 2012 (CEST)

$z=7+24i=(a+ib)^{2}=a^{2}+i2ab-b^{2}$
$\operatorname {Re} (z)=7=a^{2}-b^{2}$
$\operatorname {Im} (z)=24=2ab\Rightarrow 12=ab\Rightarrow a={\frac {12}{b}}$

$7=a^{2}-b^{2}=\left({\frac {12}{b}}\right)^{2}-b^{2}={\frac {144}{b^{2}}}-b^{2}$
$0={\frac {144}{b^{2}}}-b^{2}-7,b\ \epsilon \ \{3,-3,-4i,4i\}$
$a\ \epsilon \ \{4,-4,{\frac {-3}{i}},{\frac {3}{i}}\}$

${\sqrt {7+24i}}=a+ib=4+3i,-4-3i,{\frac {-3}{i}}+4,{\frac {3}{i}}-4$

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