TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 38

Man berechne alle Werte von ${\sqrt {8-6i}}=a+ib$ ohne Benützung der trigonometrischen Darstellung.
(Hinweis: Man quadriere die zu lösende Gleichung und vergleiche Real- und Imaginärteile.)

Hilfreiches

Quartische Gleichungen

Lösung(svorschlag)

von --Christian.abila 12:33, 17. Jul. 2012 (CEST)

$z=8-6i=a^{2}+i2ab-b^{2}$

$\operatorname {Re} (z)=8=a^{2}-b^{2}$

$\operatorname {Im} (z)=-6=2ab\Rightarrow -3=ab\Rightarrow b={\frac {-3}{a}}$

$8=a^{2}-\left({\frac {-3}{a}}\right)^{2}=a^{2}-{\frac {9}{a^{2}}}$

$0=a^{2}-{\frac {9}{a^{2}}}-8=a^{4}-9-8a^{2},\ a\ \epsilon \ \{-3,3,-i,i\}$

$b\ \epsilon \ \{1,-1,{\frac {3}{i}},{\frac {-3}{i}}\}$

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