TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 38

Man berechne alle Werte von $\sqrt{8-6i}=a+ib$ ohne Benützung der trigonometrischen Darstellung.
(Hinweis: Man quadriere die zu lösende Gleichung und vergleiche Real- und Imaginärteile.)

Hilfreiches

Quartische Gleichungen

Lösung(svorschlag)

von --Christian.abila 12:33, 17. Jul. 2012 (CEST)

$z=8-6i=a^2+i2ab-b^2$

$\mathrm{Re}(z)=8=a^2-b^2$

$\mathrm{Im}(z)=-6=2ab\Rightarrow -3=ab\Rightarrow b=\frac{-3}{a}$

$8=a^2-{\left(\frac{-3}{a}\right)}^2=a^2-\frac{9}{a^2}$

$0=a^2-\frac{9}{a^2}-8=a^4-9-8a^2,aϵ\{-3,3,-i,i\}$

$bϵ\{1,-1,\frac{3}{i},\frac{-3}{i}\}$

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