TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 57

Beweisen Sie: Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 3 teilbar ist. Mit der Ziffernsumme einer Zahl ist die Summe der Ziffern ihrer Dezimaldarstellung gemeint.

Lösung(svorschlag)

von --Christian.abila 12:19, 14. Sep. 2012 (CEST)

Im Grunde kann man sich die Restklasse ${\overline {0}}$ modulo 3 anschauen.
${\overline {0}}=\{0,3,6,9,...3*k\}...k\in \mathbb {N}$

Man kann erkennen, dass alle Elemente dieser Restklasse eine Ziffernsumme aufweisen, die durch 3 teilbar ist.

[ACHTUNG: Eine Betrachtung endlich vieler Elemente ist kein Beweis!]

Lösungsvorschlag

von Zlabi, 30.10.2013

Jede Zahl mit n Stellen kann dargestellt werden als:

$\sum _{k=0}^{n-1}(a_{k}\cdot 10^{k})=\sum _{k=0}^{n-1}(a_{k}\cdot [(10^{k}-1)+1]=\sum _{k=0}^{n-1}(a_{k}\cdot [10^{k}-1])+\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}$

$[10^{k}-1]$ ist für alle $k\in \mathbb {N}$ eine Zahl, die aus lauter 9ern besteht, also durch 3 teilbar ist. $\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}$ ist genau die Ziffernsumme der Zahl.

Die gesamte Zahl ist also genau dann durch 3 teilbar, wenn die Ziffernsumme durch 3 teilbar ist.