TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS11/Beispiel 60

Man überprüfe die Gleichung
$1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, für alle n $\in \mathbb{N}$
für die ersten fünf natürlichen Zahlen und beweise sodann deren Gültigkeit für alle natürlichen Zahlen durch vollständige Induktion.

Lösung(svorschlag)

von --Christian.abila 14:19, 14. Sep. 2012 (CEST)

n = 1:
$1^2=\frac{1\ast (1+1)(2\ast 1+1)}{6}=\frac{6}{6}=1$
n = 2:
$1^2+2^2=\frac{2\ast (2+1)(2\ast 2+1)}{6}=\frac{30}{6}=5$
n = 3:
$1^2+2^2+3^2=\frac{3\ast (3+1)(2\ast 3+1)}{6}=\frac{84}{6}=14$
n = 4:
$1^2+2^2+3^2+4^2=\frac{4\ast (4+1)(2\ast 4+1)}{6}=\frac{180}{6}=30$
n = 5:
$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=\frac{5\ast (5+1)(2\ast 5+1)}{6}=\frac{330}{6}=55$

Induktionsvoraussetzung:
$\sum _{m=1}^n{m}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Induktionsanfang n = 1 (siehe oben)

Induktionsschritt P(n+1):
$\begin{array}{cc}\sum _{m=1}^{n+1}{m}^2& =(\sum _{m=1}^n{m}^2)+(n+1{)}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1{)}^2=\\ & =\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1{)}^2}{6}=\frac{(n+1)(n(2n+1)+6(n+1))}{6}=\frac{(n+1)(2n^2+n+6n+6)}{6}& =\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}\end{array}\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$