TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 226

Gesucht sind die allgemeinen Lösungen der linearen homogenen Differenzengleichungen

(a) $x_{n+2}+3x_{n+1}+2x_{n}=0$,

(b) $x_{n+2}-6x_{n+1}+25x_{n}=0$,

(c) $x_{n+2}+11x_{n+1}+30.25x_{n}=0$

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{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag von Berti

Gleichung (a)

$\lambda ^{2}+3\lambda +2=0$

$\lambda _{1/2}=-{\frac {3}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {9}{4}}-2}}=-{\frac {3}{2}}\pm {\frac {1}{2}}\Rightarrow \lambda _{1}=-1,\lambda _{2}=-2$

Daher ergibt sich als Lösung $x_{n}=C_{1}\lambda _{1}^{n}+C_{2}\lambda _{2}^{n}=(-1)^{n}C_{1}+(-2)^{n}C_{2}$

(Lösung mit Hilfe von Wolfram Alpha)

Gleichung (b)

$\lambda ^{2}-6\lambda +25=0$

$\lambda _{1/2}=3\pm {\sqrt {9-25}}=3\pm 4i\Rightarrow \lambda _{1}=3+4i,\lambda _{2}=3-4i$

Nach dem das Ergebnis sich nicht "schön" (Vielfaches von $\pi$, rationale oder ganze Zahl) darstellen lässt, belasse ich es bei der Darstellung in Form von kartesischen Koordinaten:

$x_{n}=C_{1}(3+4i)^{n}+C_{2}(3-4i)^{n}$

(Lösung mit Hilfe von Wolfram Alpha)

Gleichung (c)

$\lambda ^{2}+11\lambda +30.25=0$

$\lambda _{1/2}=-{\frac {11}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {11^{2}}{4}}-30.25}}=-{\frac {11}{2}}$

$x_{n}=(C_{1}+nC_{2})(-5.5)^{n}$

(Lösung mit Hilfe von Wolfram Alpha)

-- Berti933 (Diskussion) 22:42, 20. Jan. 2015 (CET)