Induktionsanfang
k=0 ; n=1
![{\displaystyle x_{1}=a^{1}+b{a^{1}-1 \over a-1}=a+b}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=61d11462ffc93c2fc3c2e3cbc9453d67&mode=mathml)
damit ist der Induktionsanfang bewiesen (a+b=a+b)
Induktionsschritt
- Induktionsvorraussetzung
, für alle ![{\displaystyle n\geq 0}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=44688f1fa0e40a02531aa88a17b7b6b8&mode=mathml)
- Induktionsbehauptung - n -> n+1
![{\displaystyle x_{n+1}=a^{n}+1+b{a^{n}+1-1 \over a-1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=445a759f6a697a2e44952e5920363f51&mode=mathml)
Für
einsetzen:
![{\displaystyle ax_{n}+b=a^{n}+1+b{a^{n}+1-1 \over a-1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=dbc0857661c8b393da90136085a05ab9&mode=mathml)
Für
einsetzen:
![{\displaystyle a*(a^{n}+b{a^{n}-1 \over a-1})+b=a^{n+1}+b{a^{n+1}-1 \over a-1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7752c51c211ceeb78474e1715188f2dc&mode=mathml)
Aichingm (Diskussion) 22:06, 27. Mär. 2017 (CEST)
Geometrische Reihe:
- Für n:
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}q^{k}=(q^{0}+q^{1}+q^{2}+...+q^{n})={q^{n+1}-1 \over q-1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f4c856c73aaf2feaa29264d4d53c9fa9&mode=mathml)
- Für n-1:
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}q^{k}=(q^{0}+q^{1}+q^{2}+...+q^{n-1})={q^{n}-1 \over q-1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6eab05ffcdb98c7cac85b3f5ae12ad94&mode=mathml)
Induktionsanfang
Laut Angabe: ![{\displaystyle x_{0}=1}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=73547acb4a3fc3002fd596aa027dbdc1&mode=mathml)
und
![{\displaystyle y_{1}=a^{n}+b{a^{n}-1 \over a-1}=a^{1}+b{a^{1}-1 \over a-1}=a+b{1 \over 1}=a+b}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a0d2bb41946da9dd63ce2258316a9482&mode=mathml)
![{\displaystyle =>x=y}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=aaf06f384e2b6ea698726c404cf50ce0&mode=mathml)
Induktionsvorraussetzung
für ![{\displaystyle k=n-1}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=291ef09c51c7692a29d63ed19f9cc3af&mode=mathml)
Induktionsbehauptung
n zu n+1
![{\displaystyle a*x_{n}+b=a^{n+1}+b{a^{n+1}-1 \over a-1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5bda7d11b6023c85f364a9f733026fe8&mode=mathml)
Für
:
einsetzen:
![{\displaystyle a*(a^{n}+b{a^{n}-1 \over a-1})+b=a^{n+1}+b{a^{n+1}-1 \over a-1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4d74249a1e13f1a88551712de8425bb0&mode=mathml)
a in die Klammer multiplizieren:
![{\displaystyle a^{n+1}+ab{a^{n}-1 \over a-1}+b=a^{n+1}+b{a^{n+1}-1 \over a-1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=37d534f1eb91f75c9f0714df4d3a2be6&mode=mathml)
Geometrische Reihe einsetzen:
![{\displaystyle a^{n+1}+ab(q^{0}+q^{1}+q^{2}+...+q^{n-1})+b=a^{n+1}+b{a^{n+1}-1 \over a-1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2e77f66f6ad706f91a00a40b61844307&mode=mathml)
a in die geometrische Reihe multiplizieren:
![{\displaystyle a^{n+1}+b(q^{1}+q^{2}+q^{3}+...+q^{n})+b=a^{n+1}+b{a^{n+1}-1 \over a-1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=73314e190c9ddc759179bd9ae391bf3b&mode=mathml)
Ein b zur geometrische Reihe addieren:
![{\displaystyle a^{n+1}+b(1+q^{1}+q^{2}+q^{3}+...+q^{n})=a^{n+1}+b{a^{n+1}-1 \over a-1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7b6cfaaed7e67163ed9c73bfc53cfa84&mode=mathml)
Geometrische Reihe zurück einsetzen:
![{\displaystyle a^{n+1}+b{a^{n+1}-1 \over a-1}=a^{n+1}+b{a^{n+1}-1 \over a-1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=7e0bf4e711171887b2db6eed50874b80&mode=mathml)
Q.E.D.
Aichingm (Diskussion) 22:06, 27. Mär. 2017 (CEST)
Induktionsanfang
Laut Angabe: ![{\displaystyle x_{0}=1}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=73547acb4a3fc3002fd596aa027dbdc1&mode=mathml)
und
![{\displaystyle y_{1}=a^{n}+b{a^{n}-1 \over a-1}=a^{1}+b{a^{1}-1 \over a-1}=a+b{1 \over 1}=a+b}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a0d2bb41946da9dd63ce2258316a9482&mode=mathml)
![{\displaystyle =>x=y}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=aaf06f384e2b6ea698726c404cf50ce0&mode=mathml)
Induktionsvorraussetzung
für ![{\displaystyle k=n-1}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=291ef09c51c7692a29d63ed19f9cc3af&mode=mathml)
Induktionsbehauptung
n zu n+1
![{\displaystyle a*x_{n}+b=a^{n+1}+b{a^{n+1}-1 \over a-1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5bda7d11b6023c85f364a9f733026fe8&mode=mathml)
Für
:
einsetzen:
![{\displaystyle a*(a^{n}+b{a^{n}-1 \over a-1})+b=a^{n+1}+b{a^{n+1}-1 \over a-1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=4d74249a1e13f1a88551712de8425bb0&mode=mathml)
a in die Klammer multiplizieren:
![{\displaystyle a^{n+1}+ab{a^{n}-1 \over a-1}+b=a^{n+1}+b{a^{n+1}-1 \over a-1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=37d534f1eb91f75c9f0714df4d3a2be6&mode=mathml)
a in den Bruch multiplizieren:
![{\displaystyle a^{n+1}+b{a^{n+1}-a \over a-1}+b=a^{n+1}+b{a^{n+1}-1 \over a-1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b6ea21db5e7b7822a717871883522f24&mode=mathml)
b herausheben:
![{\displaystyle a^{n+1}+b({a^{n+1}-a \over a-1}+{1 \over 1})=a^{n+1}+b{a^{n+1}-1 \over a-1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0a14befa8185b537aaeb172f95902b3e&mode=mathml)
weiter gleich:
![{\displaystyle a^{n+1}+b({a^{n+1}-a \over a-1}+{a-1 \over a-1})=a^{n+1}+b{a^{n+1}-1 \over a-1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a1453b71b1e59c73cf48701a7ccb1893&mode=mathml)
weiter gleich:
![{\displaystyle a^{n+1}+b{a^{n+1}-a+a-1 \over a-1}=a^{n+1}+b{a^{n+1}-1 \over a-1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=25969b2ae0135ce81686a4dc70c67351&mode=mathml)
weiter gleich:
![{\displaystyle a^{n+1}+b{a^{n+1}-1 \over a-1}=a^{n+1}+b{a^{n+1}-1 \over a-1}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=2dd68385b8c4e5aa201f50d326cf4b41&mode=mathml)
Q.E.D.